11.2 群R与傅里叶变换

11.2 群R与傅里叶变换

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 伴随算子 · 酉表示 · 不可约表示 · 圆群 U(1)

在上一节中，我们施加了周期边界条件，将平移群 $R$ 替换为圆群 $S^1$，然后利用该群的酉表示由整数标记这一事实。这使得分析相对容易，其中 $\mathcal{H}=L^2(S^1)$ 和自伴算符 $\begin{array}{r}P=-i\hslash \frac{\partial }{\partial \varphi }\end{array}$ 的行为与有限维情形大致相同：$P$ 的特征向量给出 $H$ 的一个可数正交标准基，而 $P$ 可以被视为一个无限维矩阵。

不幸的是，为了理解量子力学的许多方面，人们无法回避这一技巧，而必须直接处理 $R$ 本身。原因之一是 $R$ 的酉表示由同一个群 $R$ 来标记，并且将会发现（参见第 13 章关于海森堡群的讨论），能够利用这一点并将位置与动量置于同等地位是很重要的。那么，扮演 $|n⟩=e^{in\varphi },n\in \mathbf{Z}$ 角色的是 $|k⟩=e^{ikq},k\in \mathbf{R}$。这些是 $R$ 上的函数，在函数上的平移作用下是一维不可约表示（照常使用方程 1.3）。

$$\pi (a)e^{ikq}=e^{ik(q-a)}=e^{-ika}{e}^{ikq}$$

可以尝试模仿傅里叶级数分解，其中依赖于不可约表示标签的系数 $c_n$ 被替换为依赖于 $\mathbf{R}:$ 的不可约表示标签 $k$ 的函数 $\tilde{f}(\mathbf{k})$

定义（傅里叶变换）

函数 $\psi$ 的傅里叶变换由记作 $\mathcal{F}\psi$ 或 ${\psi }_{.}$ 的函数给出，其中

$$(\mathcal{F}\psi )(k)=\tilde{\psi }(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-ikq}\psi (q)dq\text{\hspace{1em}(11.3)}$$

该积分并非对 $L^2(\mathbf{R})$ 的所有元素都有良好定义，因此需要指定 $L^2(\mathbf{R})$ 的一个子空间来研究它对其有良好定义，然后通过考虑序列的极限将定义延拓到 $L^2(\mathbf{R})$。在我们的情形中，这样的子空间的一个良好选择是施瓦茨空间 $S(\mathbf{R})$，它由函数 $\psi$ 组成，使得该函数及其导数在无穷远处比任何幂次衰减得都快。我们在此不试图给出 $S(\mathbf{R})$ 的更精确定义，但应牢记的 $S(\mathbf{R})$ 元素的一类良好例子是多项式与高斯函数的乘积。施瓦茨空间具有一个有用的性质：我们可以对动量算符 $P$ 应用任意多次而不离开该空间。

正如 $S^1$ 上的函数可以通过求和由其傅里叶级数系数 $c_n$ 恢复一样，给定 $\psi ,\psi$ 的傅里叶变换 $\tilde{\psi }(k)$，其本身也可以通过积分恢复，这由以下定理给出

定理（傅里叶反演）

对于 $\psi \in S(\mathbf{R})$，有 $\tilde{\psi }\in S(\mathbf{R})$ 且

$$\psi (q)=\tilde{\mathcal{F}}\tilde{\psi }=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{ikq}\tilde{\psi }(k)dk\text{\hspace{1em}(11.4)}$$

注意，$\tilde{\mathcal{F}}$ 与 ${\mathcal{F}}_{:}$ 是同一个线性算符，只是其所作用函数的自变量符号发生了变化。另请注意，我们正在从若干流行的傅里叶变换定义归一化方式中选择一种。

在其他情形中，因子$2\pi$可能反而出现在复指数的指数中，或者仅出现在$\mathcal{F}$或$\tilde{\mathcal{F}}$之一中，而非两者中。

因此，算符 $\mathcal{F}$ 与 $\tilde{\mathcal{F}}$ 在 $S(\mathbf{R})$ 上互为逆。有

定理（普朗歇尔）

$\mathcal{F}$ 与 $\tilde{\mathcal{F}}$ 可延拓为 $L^2(\mathbf{R})$ 到其自身的酉同构。特别地

$${\int }_{-\infty }^{\infty }|\psi (q){|}^{2}dq={\int }_{-\infty }^{\infty }|\tilde{\psi }(k){|}^{2}dk\text{\hspace{1em}(11.5)}$$

注意，我们将在 $\mathbf{R}$ 上的函数上使用同一个内积

$$⟨{\psi }_1,{\psi }_2⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }\overline{{\psi }_1(q)}{\psi }_2(q)dq$$

对于 $q$ 的函数及其傅里叶变换，以及 $k,$ 的函数，我们选择的归一化使得傅里叶变换是酉变换。

一个重要的例子是高斯函数的情形，其中

$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}{e}^{-\alpha \frac{q^2}{2}}& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-ikq}{e}^{-\alpha \frac{q^2}{2}}dq\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{\alpha }{2}((q+i\frac{k}{\alpha }{)}^2-(\frac{ik}{\alpha }{)}^2)}dq\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{k^2}{2\alpha }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-\frac{\alpha }{2}{q}^{\prime 2}}d{q}^{\prime }\\ & =\frac{1}{\sqrt{\alpha }}{e}^{-\frac{k^2}{2\alpha }}\end{array}\text{\hspace{1em}(11.6)}$$

酉算符$\mathcal{F}$在$\mathcal{H}$上的一个关键性质是，它使微分算符从而动量算符$P.$对角化。在傅里叶变换下，常系数微分算符变为仅由多项式乘法，这为求解微分方程提供了强有力的技术。利用分部积分计算微分算符的傅里叶变换，我们得到

$$\begin{array}{rl}\widetilde{\frac{d\psi }{dq}}& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-ikq}\frac{d\psi }{dq}dq\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\left(\frac{d}{dq}(e^{-ikq}\psi )-\left(\frac{d}{dq}{e}^{-ikq}\right)\psi \right)dq\\ & =ik\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-ikq}\psi dq\\ & =ik\tilde{\psi }(k)\end{array}\text{\hspace{1em}(11.7)}$$

$\mathrm{So}.$ 在傅里叶变换下，对 $q$ 的微分变为乘以 ik。这是平移在傅里叶变换下变为乘以一个相位这一事实的无穷小版本，后者可如下看出。如果

${\psi }_a(q)=\psi (q+a)$ 然后

$$\begin{array}{rl}\widetilde{{\psi }_a}(k)& =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-ikq}\psi (q+a)dq\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-ik(q^{\prime }-a)}\psi (q^{\prime })d{q}^{\prime }\\ & =e^{ika}\tilde{\psi }(k)\end{array}$$

由于 $p=\hslash k$，人们可以很容易地改变变量并使用 $p$ 而不是 $k.$。与 2$\pi$ 的因子一样，在傅里叶变换的归一化中，ℏ 的因子放在哪里是有选择的。一种常见的选择是保持傅里叶变换和傅里叶逆变换公式之间的对称性，即

$$\tilde{\psi }(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-i\frac{pq}{\hslash }}\psi (q)dq$$ $$\psi (q)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{i\frac{pq}{\hslash }}\tilde{\psi }(p)dp$$

不过，我们大多仍将继续设定 $\hslash =1$，在这种情况下，$k$ 与 $p$ 之间的区别便消失了。

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