12.5 位置空间中的传播子

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具有最简单物理解释的自由粒子态是动量本征态。它们描述一个具有固定动量 $k^{'}$ 的单个量子粒子，并且该动量是一个守恒量，不会改变。在动量空间表示中（见11.5节），这样一个含时态将由下式给出

ψ (k, t) = e^{- i \frac{1}{2 m} k^{'2} t} δ (k - k^{'})

在位置空间表示中，这样的态将由下式给出

ψ (q, t) = \frac{1}{2 π} e^{- i \frac{1}{2 m} k^{'2} t} e^{i k^{'} q}

一个波，其中（暂时恢复ℏ的因子并使用 $p = ℏ k)$ ，波长 $\frac{2 π ℏ}{p ^{'}}$ 和角频率 $\frac{p ^{'} ^{2}}{2 m ℏ}$

正如任何量子系统一样，自由粒子从时间0到时间 $t$ 的时间演化由酉算符 $U (t) = e^{- i t H}$ 给出。在动量空间表示中，这只是一个乘法算符

U (t) = e^{- i \frac{1}{2 m} k^{2} t}

在位置空间表示中，它由一个称为“传播子”的积分核给出：

定义（位置空间传播子）

位置空间传播子是作用于位置空间波函数的时间演化算符的核 $U (t, q_{t}, q_{0})$ 。它决定了波函数在所有时间 $t$ $b y$ 的时间演化。

$ψ (q_{t}, t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} U (t, q_{t}, q_{0}) ψ (q_{0}, 0) d q_{0} (12.4)$
其中 $ψ (q_{0}, 0)$ 是波函数在时刻 $0$ 的初始值。

在狄拉克记号中，有

ψ (q_{t}, t) = ⟨ q_{t} ∣ ψ (t)⟩ = ⟨ q_{t} ∣ e^{- i H t} ∣ ψ (0)⟩ = ⟨ q_{t} ∣ e^{- i H t} \int_{- \infty}^{\infty} ∣ q_{0} ⟩ ⟨ q_{0} ∣ ψ (0)⟩ d q_{0}

而传播子可以写成

U (t, q_{t}, q_{0}) = ⟨ q_{t} ∣ e^{- i H t} ∣ q_{0} ⟩

$U (t, q_{t}, q_{0})$ 可以通过动量空间乘法算符的傅里叶变换在自由粒子情形下计算：

ψ (q_{t}, t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{ik q_{t}} ψ (k, t) d k = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{ik q_{t}} e^{- i \frac{1}{2 m} k^{2} t} ψ (k, 0) d k = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{ik q_{t}} e^{- i \frac{1}{2 m} k^{2} t} (\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- ik q_{0}} ψ (q_{0}, 0) d q_{0}) d k = \int_{- \infty}^{+ \infty} (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{ik (q_{t} - q_{0})} e^{- i \frac{1}{2 m} k^{2} t} d k) ψ (q_{0}, 0) d q_{0}

因此

U (t, q_{t}, q_{0}) = U (t, q_{t} - q_{0}) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{ik (q_{t} - q_{0})} e^{- i \frac{1}{2 m} k^{2} t} d k (12.5)

注意（正如由于哈密顿算符的平移不变性所预期的那样），这仅依赖于差值 $q_{t} - q_{0}$ 。方程 12.5 可以改写为关于该差值的傅里叶逆变换

U (t, q_{t} - q_{0}) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{ik (q_{t} - q_{0})} U (t, k) d k

其中

U (t, k) = \frac{1}{2 π} e^{- i \frac{1}{2 m} k^{2} t} (12.6)

为了理解积分 12.5，可以将其中的乘积替换为复变量 $z = τ + i t$ 。当 $τ = Re (z)$ （“虚时间”）为正时，该积分变得良定义，并在 $z$ 中定义了一个全纯函数。用与方程 11.6 相同的方法计算该积分，可得

U (z = τ + i t, q_{t} - q_{0}) = \frac{m}{2 π z} e^{- \frac{m}{2 z} (q_{t} - q_{0})^{2}} (12.7)

对于 $z = τ$ 为实数且为正的情形，这是偏微分方程解的核函数

\frac{\partial}{\partial τ} ψ (q, τ) = \frac{1}{2 m} \frac{\partial ^{2}}{\partial q ^{2}} ψ (q, τ)

被称为“热方程”。这个方程模拟温度在介质中扩散的方式，它也模拟在随机游走中给定位置的概率扩散的方式。注意，在这里是 $ψ (q)$ 给出概率密度，这与自由粒子量子系统的测量理论中概率出现的方式相当不同。在那里，是 $∣ ψ ∣^{2}$ 给出粒子具有位置可观测量特征值 $q$ 的概率密度。

以[]为初始条件

ψ (q_{0}, 0) = δ (q_{0} - q^{'})

热方程在较晚时刻的解将为

ψ (q_{τ}, τ) = \frac{m}{2 π τ} e^{- \frac{m}{2 τ} (q^{'} - q_{τ})^{2}} (12.8)

这在物理上是合理的：在 $τ > 0.$ 时刻，一个局部于一点 $q^{'}$ 的初始热源会以高斯分布的形式在 $q^{'}$ 周围扩散，且宽度不断增大。对于 $τ < 0,$ ，人们得到的是在 ±∞ 处呈指数增长的东西，因此它不在 $L^{2} (R)$ 中，甚至也不在 $S^{'} (R)$ 中。

在实时间 $t$ 中，与虚时间 $τ (i.e., z = i t$ 相对，后者被解释为极限 lim $_{ϵ 0^{+}} (ϵ + i t))$ ），方程 12.7 变为

U (t, q_{t} - q_{0}) = \frac{m}{i 2 π t} e^{- \frac{m}{i 2 t} (q_{t} - q_{0})^{2}} (12.9)

与虚时情形不同，此表达式需要解释为分布，因此方程 12.4 对 $ψ (q_{0}, 0) \in S (R)$ 有意义。可以证明，对于 $ψ (q_{0}, 0)$ ，其振幅在位置 $q^{'}$ 附近达到峰值，而其傅里叶变换的振幅在动量 $k^{'}$ 附近达到峰值，在较晚时刻 $ψ (q, t)$ 将变得不那么局域化，但最大振幅位于 $q^{'} + \frac{k ^{'}}{m} t$

图 12.1：初始局域波函数的时间演化。

这在物理上正是人们所预期的，因为对于经典粒子， $\frac{p ^{'}}{m}$ 是对应于动量 $p^{'}$ 的速度。

注意，12.9 中 $i$ 的平方根的选择由以下条件决定：对于 $τ > 0$ ，人们从虚时间版本得到解析延拓，因此在 12.9 中应当取

\frac{m}{i 2 π t} = e^{- i \frac{π}{4}} \frac{m}{2 π t}

我们已经看到，一个初始动量本征态

ψ (q_{0}, 0) = \frac{1}{2 π} e^{i k^{'} q_{0}}

随时间演化通过乘以一个相位因子实现。一个初始位置本征态

ψ (q_{0}, 0) = δ (q_{0} - q^{'})

演化为

ψ (q_{t}, t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} U (t, q_{t} - q_{0}) δ (q_{0} - q^{'}) d q_{0} = \frac{m}{i 2 π t} e^{- \frac{m}{i 2 t} (q_{t} - q^{'})^{2}}

在 $t = 0$ 附近，该函数具有相当奇特的行为。它在 $t = 0$ 时起始于 $q_{0}$ 处的局域化状态，但在任意更晚的时刻 $t > 0,$ ，无论多么小，波函数都将在位置空间中具有延伸至无穷远的恒定振幅。这里清楚地表明，有必要将这样的波函数解释为一个分布。

对于这一计算的物理解释，请注意：虽然动量本征态是能够制备并随后加以研究的稳定态的良好近似，但近似的位置本征态则颇为不同。它的制备需要与一个交换极大动量的仪器发生相互作用（这涉及极短的波长以分辨位置）。根据海森堡不确定性原理，精确已知的位置对应于完全未知的动量，而该动量可以任意大。如此任意大的动量意味着任意大的速度，能在任意短的时间周期内到达任意远的地方。在后续章节中我们将看到，相对论量子理论如何为人们试图局域化一个量子粒子时所发生的情况提供更符合物理实际的描述，届时相当不同的现象（包括可能的粒子产生）将发挥作用。

来源与版本

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来源版本：2025-10-20

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