12.3 狄拉克记号

12.3 狄拉克记号

在狄拉克左矢-右矢形式体系中，位置和动量本征态将分别记作$|q⟩$和$|k⟩$，其中

$$Q|q⟩=q|q⟩,P|k⟩=k|k⟩$$

任意态 $|\psi ⟩$ 可视为由系数决定

$$⟨q|\psi ⟩=\psi (q),⟨k|\psi ⟩=\tilde{\psi }(k)\text{\hspace{1em}(12.3)}$$

相对于 $|q⟩$ 或 |$k$⟩ 基。然而，使用左矢-右矢形式体系需要一些谨慎，因为像 $|q⟩$ 或 $|k⟩$ 这样的态是 $S^{\prime }(\mathbf{R})$ 的元素，它们不对应于 $\mathcal{S}(\mathbf{R})$ 的任何元素。给定 $\mathcal{S}(\mathbf{R})$ 中的元素 |$\psi$⟩，它们可以如方程 12.3 中那样与 $S^{\prime }(\mathbf{R})$ 的元素如 $⟨q|$ 和 $⟨k|$ 配对，以得到数。当处理像 $|\grave{q^{\prime }}⟩$ 和 $|k^{\prime }⟩$ 这样的态时，必须援引并正确解释诸如以下的分布关系

$$⟨q|q^{\prime }⟩=\delta (q-q^{\prime }),⟨k|k^{\prime }⟩=\delta (k-k^{\prime })$$

方程 12.1 用狄拉克符号表示为

$$|\psi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }|q⟩⟨q|\psi ⟩dq$$

以及12.2作为

$$|\psi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }|k⟩⟨k|\psi ⟩dk$$

恒等算符在方程 4.6 中的分解在此写出

$$1={\int }_{-\infty }^{\infty }|q⟩⟨q|dq={\int }_{-\infty }^{\infty }|k⟩⟨k|dk$$

基|$q$⟩与基|$k$⟩之间的变换由傅里叶变换给出，用这种记号表示即为

$$⟨k|\psi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }⟨k|q⟩⟨q|\psi ⟩dq$$

其中

$$⟨k|q⟩=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-ikq}$$

以及傅里叶逆变换

$$⟨q|\psi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }⟨q|k⟩⟨k|\psi ⟩dk$$

其中

$$⟨q|k⟩=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{ikq}$$

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来源版本：2025-10-20

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