21.3 氢原子

21.3 氢原子

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库仑势问题为氢原子的量子物理提供了良好的描述，但它遗漏了该系统的一个重要特征，即电子是自旋 $\frac{1}{2}$ 系统这一事实。为了描述这一点，人们确实需要取二分量波函数作为态空间

$$|\psi ⟩=(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_1(\mathbf{q})}{{\psi }_2(\mathbf{q})})$$

（或者等价地，将我们的波函数态空间$H$替换为张量积$\mathcal{H}\otimes {\mathbf{C}}^2)$，我们将在第34章详细考察这种方式。

氢原子的哈密顿算符对 ${\mathbf{C}}^2$ 因子作用平凡，因此额外波函数分量的唯一效应是使每个能量处的能量本征态数目加倍。电子是费米子，所以多粒子波函数的反对称性蕴含泡利原理，即态只能被单个粒子占据。因此，人们发现，当向由库仑势问题描述的原子中添加电子时，前两个电子填满最低的库仑能量本征态（${\psi }_{100}$ 或 $n$ = 1 时的 1S 态），接下来的八个电子填满 $n=2$ 态（${\psi }_{200}$、${\psi }_{211},{\psi }_{210},{\psi }_{21-1})$ 等各两个）。这在很大程度上解释了元素周期表的结构。

当把氢原子置于恒定磁场 $B$ 中时，出于将在 45.3 节中描述的原因，哈密顿算子会获得一个仅作用于 ${\mathbf{C}}^2$ 因子的项，其形式为

$$\frac{2e}{mc}\mathbf{B}\cdot \sigma$$

这正是我们开始研究量子力学时针对简单二态系统所采用的那类哈密顿算子。它使波函数的两个不同分量的能量特征值发生正比于 $\mathrm{to}\pm |\mathbf{B}|$ 的移动，而观测到这种能量分裂清楚地表明必须用二分量形式体系来处理电子。

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来源版本：2025-10-20

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