21.2 so(4)对称性与库仑势

21.2 so(4)对称性与库仑势

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 李代数 · 不可约表示

库仑势问题非常特殊，因为它具有一种不明显的额外对称性。这种对称性甚至出现在经典问题中，在那里它导致了人们能够找到本质相同的开普勒问题相对简单的解。这就是寻找绕中心物体轨道运动的天体经典轨迹的问题，该中心物体施加引力，而引力也具有$\mathrm{a}\frac{1}{r}$势。

开普勒第二定律对于此类运动来自角动量守恒，这对应于泊松括号关系

$$\{l_j,h\}=0$$

这里我们将采用氢原子问题所需的库仑型哈密顿算子

$$h=\frac{1}{2m}|\mathbf{p}{|}^2-\frac{e^2}{r}$$

关系 $\{l_j,h\}=0$ 可以有两种读法：

• 哈密顿算子 $h$ 在群 $\left(SO(3)\right)$ 的作用下不变，该群的无穷小生成元为 $l_j$

• 角动量 $(l_j)$ 的分量在群（时间平移群 $R$）的作用下不变，该群的无穷小生成元是 $h,$，因此角动量是守恒量。

对于哈密顿算子的这一特殊选择，存在一种不同类型的守恒量。这个量像角动量一样是一个向量，通常称为楞次向量（有时也称龙格-楞次向量，甚至拉普拉斯-龙格-楞次向量）：

定义（楞次向量）

楞次向量是相空间 ${\dot{\mathbf{R}}}^6$ 上的向量值函数，由下式给出

$$\mathbf{w}=\frac{1}{m}(\mathbf{l}\times \mathbf{p})+e^2\frac{\mathbf{q}}{|\mathbf{q}|}$$

对叉积的简单操作表明，有

$$\mathbf{l}\cdot \mathbf{w}=0$$

我们在此不显式计算涉及 $\mathbf{w}.$ 的分量 $w_j$ 的各种泊松括号，因为这是一项冗长且无启发性的计算，而只引用结果，即

$$\{w_j,h\}=0$$

这表明，与角动量一样，具有分量 $w_j$ 的向量在系统的时间演化下是一个守恒量，并且它的各个分量生成经典系统的对称性。

$$\{l_j,w_k\}={ϵ}_{jkl}{w}_l$$

这些关系表明，$SO(3)$ 对称性的生成元对 $w_j$ 的作用方式，正如人们对 ${\mathbf{R}}^3$ 中一个向量的分量 $w_j$ 所预期的那样。

$$\left\{w_j,w_k\right\}={ϵ}_{jkl}{l}_l\left(\frac{-2h}{m}\right)$$

这是最令人惊讶的关系，它没有简单的几何解释（尽管人们可以在问题中改变变量以试图给出一个解释）。它表达了哈密顿算子$h$与由向量$l$、$w$生成的两组对称性之间高度非平凡的关系。

$w_j$ 在 $q$ 和 $p$ 变量中是三次的，因此 Groenewold-van Hove 不可行定理意味着，不存在一种一致的方法通过寻找算符 $W_j,L_j,H$ 来量子化此系统，这些算符给出由函数 $w_j,l_j,h$ 生成的李代数的一个表示（取泊松括号）。在相空间中远离轨迹 $h=0$ 之处，函数 $h$ 可用于重新标度 $w_j.$，定义

$$k_j=\sqrt{\frac{-m}{2h}}{w}_j$$

而函数 $l_j,k_j$ 则生成一个有限维李代数。系统的量子化可以通过找到适当的算符 $W_j$ 来进行，然后利用能量特征值对它们进行重新标度，得到算符 $L_j,K_j$，这些算符在能量特征子空间上给出一个有限维李代数的表示。

一组可行的算符选择$W_j$是

$$\mathbf{W}=\frac{1}{2m}(\mathbf{L}\times \mathbf{P}-\mathbf{P}\times \mathbf{L})+e^2\frac{\mathbf{Q}}{|\mathbf{Q}|}$$

其中最后一项是乘以$e^2{q}_j/|\mathbf{q}|$的算符。通过繁复且无启发性的计算，可以证明$W_j$满足与$w_j:$的泊松括号关系相对应的对易关系

$$\begin{array}{rl}[W_j,H]& =0\\ & =i\hslash {ϵ}_{jkl}{W}_l\\ & =i\hslash {ϵ}_{jkl}{L}_l\left(-\frac{2}{m}H\right)\end{array}$$

以及

$$\mathbf{L}\cdot \mathbf{W}=\mathbf{W}\cdot \mathbf{L}=0$$

其中第一个关系表明，能量本征态不仅会被角动量算子$L_j,$保持，还会被一组新的非平凡算符$W_j$保持，因此将是比so(3)更大的李代数的表示。此外，$W^2$、$H$与Casimir算子$L^2$之间有以下关系

$$W^2=e^{4}1+\frac{2}{m}H(L^2+{\hslash }^{2}1)\text{\hspace{1em}(21.2)}$$

如果我们现在将注意力限制在能量为 $E,$ 的能量本征态所构成的子空间 ${\mathcal{H}}_E\subset \mathcal{H}$ 上，那么我们就可以定义重新标度后的算符

$$\mathbf{K}=\sqrt{\frac{-m}{2E}}\mathbf{W}$$

在该子空间上，方程21.2变为关系

$$2H(K^2+L^2+{\hslash }^{2}1)=-m{e}^{4}1$$

并且我们将能够利用这一点，根据$L^2$和$K^2$的特征值来求出$H$的特征值。

我们将假设 $E<0.$，在这种情况下，我们有以下对易关系

$$\begin{array}{rl}[L_j,L_k]& =i\hslash {ϵ}_{jkl}{L}_l\\ & =i\hslash {ϵ}_{jkl}{K}_l\\ & =i\hslash {ϵ}_{jkl}{L}_l\end{array}$$

定义

定义

$$\mathbf{M}=\frac{1}{2}(\mathbf{L}+\mathbf{K}),\mathbf{N}=\frac{1}{2}(\mathbf{L}-\mathbf{K})$$

人们有

$$\begin{array}{rl}[M_j,M_k]& =i\hslash {ϵ}_{jkl}{M}_l\\ [N_j,N_k]& =i\hslash {ϵ}_{jkl}{N}_l\\ [M_j,N_k]& =0\end{array}$$

这表明有两个相互对易的 $\mathfrak{so}(3)$ 的副本作用于态上，分别由 $M_j$ 和 $N_j$ 张成，并带有两个相应的卡西米尔算符 $M^2$ 和 $N^2$

利用以下事实：

$$\mathbf{L}\cdot \mathbf{K}=\mathbf{K}\cdot \mathbf{L}=0$$

人们发现

$$M^2=N^2$$

回想我们在三维旋转中的讨论，$\mathfrak{so}(3)=\mathfrak{su}(2)$ 的表示对应于 $Spin(3)=SU(2)$ 的表示，后者是 $SO(3)$ 的双重覆盖，其不可约表示的维数为 $2l+1$，其中 $l$ 为半整数。只有当 $l$ 为整数时，才能得到 $SO(3)$ 的表示，而正是这些表示出现在 ${\mathbf{R}}^3$ 上函数的 $SO(3)$ 表示中。对于四维情形，我们发现 $Spin(4)$，即 $SO(4)$ 的双重覆盖，是 $SU(2)\times SU(2)$，因此有自旋 $(4)=\mathfrak{so}(4)=\mathfrak{su}(2)\times \mathfrak{su}(2)=\mathfrak{so}(3)\times \mathfrak{so}(3)$。这正是我们在此处所发现的李代数，因此可以把 $E$ 取固定负值时的库仑问题视为具有 $\mathfrak{so}(4)$ 对称性。将会出现的表示可以包括半整数表示，因为两个 $(3)$ 因子都不是三维空间中物理旋转的 $\mathfrak{so}(3)$（物理角动量算符是 $\mathbf{L}=\mathbf{M}+\mathbf{N})$

哈密顿算符与卡西米尔算符$M^2$和$N^2$之间的关系是

$$2H(K^2+L^2+{\hslash }^{2}1)=2H(2M^2+2N^2+{\hslash }^{2}1)=2H(4M^2+{\hslash }^{2}1)=-m{e}^{4}1$$

关于自旋 $\mu ,$ 的 $\mathfrak{so}(3)$ 的不可约表示，我们将有

$$M^2=\mu (\mu +1){\hslash }^{2}1$$

对于某个半整数 $\mu ,$，我们得到以下能量特征值方程

$$E=-\frac{-m{e}^4}{2{\hslash }^2(4\mu (\mu +1)+1)}=-\frac{-m{e}^4}{2{\hslash }^2(2\mu +1{)}^2}$$

令 $n=2\mu +1$，其中 $\mu =0,\frac{1}{2},1,...$。我们得到 $n=1,2,3,...$，并且对于前面描述的特征值，方程完全相同

$$E_n=-\frac{m{e}^4}{2{\hslash }^2{n}^2}$$

可以证明，乘积李代数 $\mathfrak{so}(3)\times \mathfrak{so}(3)$ 的不可约表示是各因子不可约表示的张量积，而在这种情况下，由于卡西米尔算符的相等关系 $M^2=N^2$ ，张量积中的两个因子相同。因此，$\mathfrak{so}(3)\times \mathfrak{so}(3)$ 的不可约表示的维数为 $(2\mu +1{)}^2=n^2$ ，这解释了在特征值 $E_n$ 处所发现状态的重数。

具有 $E<0$ 的态称为“束缚态”，在物理上对应于始终局域于原点附近的量子化粒子。如果我们选择 $E>0$，那么我们的算符将满足另一个不同的实李代数，称为 so(3, 1)，其性质相当不同。这样的态称为“散射态”，对应于在遥远过去远离原点时表现为自由粒子的量子化粒子，但在随时间传播的过程中，其动量方向被库仑势改变（哈密顿算子不具有平移不变性，因此动量不守恒）。

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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