4.1 特征子空间与特征方程

English

不变子空间

若 $V$ 的一个子空间 $U$ 在线性算符 $S:V\to V$ 下称为 不变子空间(invariant subspace)，则

$$SU=\{Su\mid u\in U\}\subseteq U.$$

此时，$S$ 的作用限制在子空间 $U,S{|}_U,$ 上，给出 $U$ 上的一个线性算符。

例 4.1

设 $V$ 是一个三维向量空间，其基为 $\{e_1,e_2,e_3\}$ ，而 $S$ 是由下式定义的算符

$$\begin{array}{l}S{e}_1=e_2+e_3,\\ S{e}_2=e_1+e_3,\\ S{e}_3=e_1+e_2.\end{array}$$

设 $U$ 为所有形如 $(a+b)e_1+b{e}_2+(-a+b)e_3$ 的向量构成的子空间，其中 $a$ 与 $b$ 为任意标量。该子空间由 $f_1=e_1-e_3$ 与 $f_2=e_1+e_2+e_3$ 张成，并且在 $S$ 下不变，因为

$$S{f}_1=-f_1,S{f}_2=2f_2⟹S(a{f}_1+b{f}_2)=-a{f}_1+2b{f}_2\in U.$$

随文练习

证明：若 $U$ 与 $W$ 都是 $V$ 在算符 $S$ 下的不变子空间，则它们的交集 $U\cap W$ 与和 $U+W=\{v=u+w\mid u\in U,w\in W\}$ 也都是。

设 $\dim$ $U=m<n=\dim V$，并令 $\{e_1,\dots ,e_m\}$ 为 $U$ 的一个基。由定理 3.7，此基可扩充为张成整个 $V$ 的基 $\{e_1,\dots ,e_n\}$。$U$ 在 $S$ 下的不变性意味着前 $m$ 个基向量只在自身之间变换，

$$S{e}_a=\sum _{b=1}^m{S}_a^b{e}_b(a\le m).$$

在这样的基下，当 $i\le m,k>m$ 时，算符 $S$ 的分量 $S_i^k$ 为零，并且 $n\times n$ 矩阵 $\mathsf{S}=[S_i^k]$ 具有上块对角形式

$$\mathsf{S}=\left(\begin{array}{cc}{\mathsf{S}}_1& {\mathsf{S}}_3\\ \mathsf{O}& {\mathsf{S}}_2\end{array}\right).$$

子矩阵 ${\mathsf{S}}_1$ 是 $S{|}_U$ 在基 $\{e_1,\dots ,e_m\}$ 下分量的 $m\times m$ 矩阵，而 ${\mathsf{S}}_3$ 和 ${\mathsf{S}}_2$ 分别是阶为 $m\times p$ 和 $p\times p$ 的子矩阵，其中 $p=n-m$，且 $O$ 是零 $p\times m$ 矩阵。

若 $V=U\oplus W$ 是一个分解，且 $U$ 与 $W$ 均在 $S$ 下不变，则选取 $V$ 的一组基 $\{e_1,\dots ,e_m,e_{m+1},\dots ,e_n\}$，使得前 $m$ 个向量张成 $U$，而后 $p=n-m$ 个向量张成 $W$。于是，当 $i>m$ 且 $k\le m$ 时，有 $S_i^k=0$，并且算符 $S$ 的矩阵具有分块对角形式

$$\mathsf{S}=\left(\begin{array}{cc}{\mathsf{S}}_1& \mathsf{O}\\ \mathsf{O}& {\mathsf{S}}_2\end{array}\right).$$

例 4.2

在例 4.1 中，令 $f_3=e_3$ 。向量 $f_1,f_2,f_3$ 构成一个适应于由 $f_1$ 和 $f_2$ 张成的不变子空间的基，

$$S{f}_1=-f_1,S{f}_2=2f_2,S{f}_3=f_2-f_3,$$

而$S$的矩阵具有上块对角形式

$$\mathsf{S}=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right).$$

另一方面，由 $\begin{array}{r}{f}_3^{\prime }=e_3-\frac{1}{2}{e}_1-\frac{1}{2}{e}_2\end{array}$ 张成的一维子空间 $W$ 是不变的，因为 $S{f}_3^{\prime }=-f_3^{\prime }$，并且在适应不变分解 $V=U\oplus W$ 的基 $\{f_1,f_2,f_3^{\prime }\}$ 下，矩阵 $S$ 呈块对角形式

$$\mathsf{S}=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right).$$

特征向量与特征值

给定算符 $S:V\to V,$，若存在非零向量 $v$ 使得，则标量 $\lambda \in \mathbb{K}$ 称为 $S$ 的 特征值(eigenvalue)

$$Sv=\lambda v(v\ne 0)\text{\hspace{1em}(4.6)}$$

而 $v$ 称为 $S$ 对应于特征值 $\lambda$ 的一个 特征向量(eigenvector)。特征向量是那些在算符 $S$ 作用下被“拉伸”了 $\lambda$ 的非零向量。必须规定 $v\ne 0$，因为方程 Eq. (4.6) 对零向量 $\mathcal{S}0=0=\lambda 0.$ 总是成立。

对于任意标量 $\lambda \in \mathbb{K}$，令

$$V_{\lambda }=\{u\mid Su=\lambda u\}.\text{\hspace{1em}(4.7)}$$

集合 $V_{\lambda }$ 是一个向量子空间，因为

$$\begin{array}{rl}Su=\lambda u\text{ and }Sv=\lambda v& ⟹S(u+av)=Su+aSv\\ & ⟹S(u+av)=\lambda u+a\lambda v=\lambda (u+av)\text{ for all }a\in \mathbb{K}.\end{array}$$

对于每个 $\lambda ,$，子空间 $V_{\lambda }$ 在 $S$ 下不变，

$$u\in V_{\lambda }⟹Su=\lambda u⟹S(Su)=\lambda Su⟹Su\in V_{\lambda }.$$

$V_{\lambda }$ 由所有以 $\lambda$ 为特征值的特征向量组成的集合构成，并补充零向量 0。若 $\lambda$ 不是 $S,$ 的特征值，则 $V_{\lambda }=\{0\}$

若 $\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$ 是向量空间 $V,$ 的任意一组基，而 $v=v^i{e}_i$ 是 $V,$ 的任意一个向量，则令 $v$ 为分量组成的列向量

$$\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}{v}^1\\ v^2\\ ⋮\\ v^n\end{array}\right).$$

由式 (3.8)，式 (4.6) 的矩阵等价形式为

$$\mathbf{Sv}=\lambda \mathbf{v},\text{\hspace{1em}(4.8)}$$

其中 $S$ 是 $S$ 的分量矩阵。在基变换式 (4.2) 下，由式 (3.18) 和式 (4.5) 可得，

$${\mathbf{v}}^{\prime }=\mathsf{Av},{\mathsf{S}}^{\prime }={\mathsf{ASA}}^{-1}.$$

因此，若 $v$ 满足方程 (4.8)，则 ${\mathbf{v}}^{\prime }$ 是 ${\mathsf{S}}^{\prime }$ 的一个特征向量，且具有相同的特征值 $\lambda$，

$${\mathsf{S}}^{\prime }{\mathbf{v}}^{\prime }={\mathsf{ASA}}^{-1}\mathsf{Av}=\mathsf{ASv}=\lambda \mathsf{Av}=\lambda {\mathbf{v}}^{\prime }.$$

这一结果并不意外，因为式 (4.8) 及其带撇版本只是同一个与基无关的方程 Eq. (4.6) 在不同基下的表示。

归纳地定义算符的第 $n$ 次幂 $S^n$，即令 $S^0={\mathrm{id}}_V$ 且

$$S^n=S\circ S^{n-1}=S{S}^{n-1}.$$

因此 $S^1=S$ 与 $S^2=SS$ 等等。若 $p(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdot \cdot \cdot +a_n{x}^n$ 是任意以 $a_i\in \mathbb{K}$ 为系数的多项式，则 算符多项式(operator polynomial) $p(S)$ 按显然的方式定义，

$$p(S)=a_0+a_{1}S+a_2{S}^2+\cdots +a_n{S}^n.$$

若 $\lambda$ 是 $S$ 的一个特征值，且 $v$ 是相应的特征向量，则 $v$ 是任意幂 $S^n$ 的对应于特征值 ${\lambda }^n$ 的特征向量。对于 $n=0$

$$S^{0}v={\mathrm{id}}_{V}v={\lambda }^{0}v\text{ since }{\lambda }^0=1,$$

而证明由归纳法得到：假设 $S^{n-1}v={\lambda }^{n-1}$ $v$，则根据线性性

$$S^{n}v=S{S}^{n-1}v=S{\lambda }^{n-1}v={\lambda }^{n-1}Sv={\lambda }^{n-1}\lambda v={\lambda }^{n}v.$$

对于多项式 $p(x)$，立即可以得出 $v$ 是算符 $p(S)$ 的特征向量，其特征值为 $p(\lambda )$，

$$p(S)v=p(\lambda )v.\text{\hspace{1em}(4.9)}$$

特征方程

矩阵方程式 (4.8) 可以写成如下形式

$$(S-\lambda l)\mathbf{v}=0.\text{\hspace{1em}(4.10)}$$

该方程存在非平凡解 $\mathbf{v}\ne 0$ 的一个充分必要条件为

$$f(\lambda )=\det (\mathsf{S}-\lambda \mathrm{l})=\left|\begin{array}{cccc}{S}_1^1-\lambda & S_2^1& \dots & S_n^1\\ S_1^2& S_2^2-\lambda & \dots & S_n^2\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ S_1^n& S_2^n& \dots & S_n^n-\lambda \end{array}\right|=0,\text{\hspace{1em}(4.11)}$$

称为 $S$ 的 特征方程(characteristic equation)。函数 $f(\lambda )$ 是 $\lambda ,$ 中次数为 $n$ 的多项式

$$f(\lambda )=(-1{)}^n\left({\lambda }^n-S_k^k{\lambda }^{n-1}+\cdots +(-1{)}^n\det \mathsf{S}\right),\text{\hspace{1em}(4.12)}$$

称为 $S$ 的 特征多项式(characteristic polynomial)。

若标量域为复数域 $\mathbb{K}=\mathbb{C}.$，则代数基本定理蕴含存在复数 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$，使得

$$f(\lambda )=(-1{)}^n(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)\dots (\lambda -{\lambda }_n).$$

由于特征方程的这些根中有些可能重复出现，我们可以将特征多项式写成如下形式

$$\begin{array}{c}f(z)=(-1{)}^n(z-{\lambda }_1{)}^{p_1}(z-{\lambda }_2{)}^{p_2}\dots (z-{\lambda }_m{)}^{p_m}\\ \text{ where }{p}_1+p_2+\cdots +p_m=n.\end{array}\text{\hspace{1em}(4.13)}$$

由于对每个 $\lambda ={\lambda }_i$，都存在一个非零复向量解 $v$ 满足由 (4.10) 给出的线性方程组，因此 $S$ 的特征值必定全部来自根集合 $\{{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m\}$。正整数 $p_i$ 称为特征值 ${\lambda }_i$ 的 重数(multiplicity)。

例 4.3

当标量域为实数域 $R$ 时，一般不存在对应于特征方程复根的实特征向量。例如，设 $A$ 为 ${\mathbb{R}}^2$ 上的算符，其由对标准基向量 $e_1=(1,0)$ 和 $e_2=(0,1)$ 的如下作用定义，

$$A{e}_1=e_2,A{e}_2=-e_1⟹\mathsf{A}=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right).$$

特征多项式为

$$f(z)=\left|\begin{array}{cc}-z& -1\\ 1& -z\end{array}\right|=z^2+1,$$

其根为 $z=\pm i$ 。因此，算符 $A$ 没有实特征值和特征向量。然而，若我们将标量域视为 $\mathbb{C}$ 并视 $A$ 作用于 ${\mathbb{C}}^2$ ，则它具有复特征向量

$$\begin{array}{ll}u=e_1-i{e}_2,& Au=iu,\\ v=e_1+i{e}_2,& Av=-iv.\end{array}$$

值得注意的是，由于 $A^2{e}_1,=A{e}_2=-e_1$ 和 $A^2{e}_2=-A{e}_1=-e_2$，算符 $A$ 满足其自身的特征方程

$$A^2+{\mathrm{id}}_{{\mathbb{R}}^2}=0⟹{\mathsf{A}}^2+\mathsf{I}=0.$$

这是重要的凯莱–哈密顿定理的一个简单例子——见下文定理4.3。

例 4.4

设 $V$ 是一个三维复向量空间，其基为 $e_1,e_2,e_3$ ，而 $S:V\to V$ 是该基下矩阵为

$$\mathsf{S}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right).$$

特征多项式为

$$f(z)=\left|\begin{array}{ccc}1-z& 1& 0\\ 0& 1-z& 0\\ 0& 0& 2-z\end{array}\right|=-(z-1{)}^2(z-2).$$

因此特征值为 1 和 2，且容易验证对应于 2 的特征向量是 $e_3$。设 $\mathbf{u}=x{\mathbf{e}}_1+y{\mathbf{e}}_2+z{\mathbf{e}}_3$ 为特征值 1 的一个特征向量，

$$\mathbf{Su}=\mathbf{u}\text{ where }\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),$$

然后

$$x+y=x,y=y,2z=z.$$

因此 $y=z=0$ 和 $u=x{e}_1$ 。于是，尽管特征值 $\lambda =1$ 的重数为 2，所有对应的特征向量都是 $e_1$ 的倍数。

注意，虽然 $e_2$ 不是特征向量，但它被 $(S-{\mathrm{id}}_V{)}^2$ 零化，因为

$$\begin{array}{c}S{e}_2=e_1+e_2⟹(S-{\mathrm{id}}_V)e_2=e_1\\ ⟹(S-{\mathrm{id}}_V{)}^2{e}_2=(S-{\mathrm{id}}_V)e_1=0.\end{array}$$

形如 $S-{\lambda }_i{\mathrm{id}}_V$ 的算符及其幂 $(S-\lambda {\mathrm{id}}_V{)}^m$（其中 ${\lambda }_i$ 是 $S$ 的特征值）将在下文中经常出现。这些算符显然彼此对易，将它们写作 $(S-{\lambda }_i{)}^m$ 不会产生歧义。

定理 4.1 · 不同特征值的特征向量线性无关 (Linear independence of eigenvectors for distinct eigenvalues)

算符 $S$ 的相异特征值所对应的任意特征向量集合都是线性无关的。

证明

设 $\{f_1,f_2,\dots ,f_k\}$ 为 $S$ 的对应于特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_k$ 的一组特征向量，其中没有两个是相等的，

$$S{f}_i={\lambda }_i{f}_i(i=1,\dots ,k),$$

并且设 $c_1,c_2,\dots ,c_k$ 为标量，使得

$$c_1{f}_1+c_2{f}_2+\cdots +c_k{f}_k=0.$$

若将多项式 $P_1(S)=(S-{\lambda }_2)(S-{\lambda }_3)\dots (S-{\lambda }_k)$ ) 作用于该方程，则除第一项外所有项均被消去，剩下

$$c_1{P}_1({\lambda }_1)f_1=0.$$

因此

$$c_1\left({\lambda }_1-{\lambda }_2\right)\left({\lambda }_1-{\lambda }_3\right)\dots \left({\lambda }_1-{\lambda }_k\right)f_1=0,$$

并且由于 $f_1\ne 0$ 以及所有因子 $({\lambda }_1-{\lambda }_i)\ne 0$ 对于 $i=2,\dots ,k.$，因此有 $c_1=0.$。类似地，$c_2=\cdots =c_k=0$，证明了 $f_1,\dots ,f_k$ 的线性无关性。

若算符 $S:V\to V$ 具有 $n$ 个互不相同的特征值 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$，其中 $n=\dim V$，则定理 4.1 表明特征向量 $f_1,f_2,\dots ,f_n$ 线性无关，并构成 $V$ 的一组基。关于这组基，$S$ 的矩阵为对角矩阵，且其特征值位于对角线上，

$$\mathsf{S}=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \dots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \dots & 0\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & {\lambda }_n\end{array}\right).$$

反之，任何其矩阵可对角化的算符都具有一组特征向量基（对于逆命题而言，特征值不必互异）。更为困难的任务在于对那些情形进行分类，例如例4.4，其中特征值$\lambda$具有重数$p>1$，但对应于它的线性无关特征向量少于$p$个。

最小零化多项式

线性算符的空间 $L(V,V)$ 是一个维数为 $n^2$ 的向量空间，因为它可以与 $n\times n$ 矩阵的空间建立一一对应。因此，$V$ 上任意线性算符 $S$ 的前 $n^2$ 个幂 $\mathcal{I}\equiv {\mathrm{id}}_V=S^0,S=S^1,S^2,...,S^{n^2}$ 不可能线性无关，因为总共有 $n^2+1$ 个算符。于是 $S$ 必满足一个多项式方程，

$$P(S)=c_{0}I+c_{1}S+c_2{S}^2+\cdots +c_{n^2}{S}^{n^2}=0,$$

并非其所有系数 $c_0,c_1,\dots ,c_n$ 都为零。

随文练习

证明任何此类多项式方程的矩阵等价形式都与基无关，为此证明 $S$ 的任意相似变换 ${\mathsf{S}}^{\prime }=\mathsf{AS}{\mathsf{A}}^{-1}$ 满足同一多项式方程，$P({\mathsf{S}}^{\prime })=0$

设

$$\Delta (S)=S^k+c_1{S}^{k-1}+\cdots +c_{k}I=0$$

设 $k\le n^2$ 为最低次数的首项系数为 1 的多项式方程，且被 $S$ 满足。多项式 $\Delta (S)$ 是唯一的，因为如果

$${\Delta }^{\prime }(S)=S^k+c_1^{\prime }{S}^{k-1}+\cdots +c_k^{\prime }I=0$$

是另一个这样的多项式方程，那么将这两个方程相减，我们得到

$$(\Delta -{\Delta }^{\prime })(S)=(c_1-c_1^{\prime })S^{k-1}+(c_2-c_2^{\prime })S^{k-2}+\cdots +(c_k-c_k^{\prime })=0,$$

这是次数为 $<k$ 的多项式方程，且被 $S$ 满足。因此 $c_1=c_1^{\prime },c_2=$ $c_2^{\prime },\dots ,c_k=c_k^{\prime }$ 。唯一的多项式 $\Delta (z)=z^k+c_1{z}^{k-1}+\cdot \cdot \cdot +c_k$ 称为 $S$ 的 最小零化多项式(minimal annihilating polynomial)。

定理 4.2 · 特征值与最小零化多项式 (Eigenvalues and the minimal annihilating polynomial)

标量 $\lambda$ 是向量空间 $V$ 上算符 $S$ 的特征值，当且仅当它是极小零化多项式 $\Delta (z)$ 的根。

证明

若 $\lambda$ 是 $S$ 的一个特征值，令 $u\ne 0$ 为任一相应的特征向量，$Su=\lambda u$ 由于 $0=\Delta (S)u=\Delta (\lambda )u$，因此可得 $\Delta (\lambda )=0$

反之，若 $\lambda$ 是 $\Delta (z)=0$ 的根，则存在一个多项式 ${\Delta }^{\prime }(z)$，使得

$$\Delta (z)=(z-\lambda ){\Delta }^{\prime }(z),$$

并且由于 ${\Delta }^{\prime }(z)$ 的次数低于 $\Delta (z)$，它不能消去 $S,$

$${\Delta }^{\prime }(S)\ne 0.$$

因此，存在一个向量$u\in V$，使得${\Delta }^{\prime }(S)u=v\ne 0$，并且

$$0=\Delta (S)u=(S-\lambda ){\Delta }^{\prime }(S)u=(S-\lambda )v.$$

因此 $Sv=\lambda v$，且 $\lambda$ 是 $S$ 的一个特征值，其特征向量为 $v$。

由该定理可知，复向量空间上算符 $S$ 的最小零化多项式可写成如下形式

$$\Delta (z)={\left(z-{\lambda }_1\right)}^{k_1}{\left(z-{\lambda }_2\right)}^{k_2}\dots {\left(z-{\lambda }_m\right)}^{k_m}\left(k_1+k_2+\cdots +k_m=k\right)\text{\hspace{1em}(4.14)}$$

其中 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m$ 取遍 $S$ 的所有互异特征值。各个因子 ${\left(z-{\lambda }_i\right)}^{k_i}$ 称为 $S$ 的 初等因子(elementary divisor)。以下定理表明，特征多项式总能被最小零化多项式整除；也就是说，对每个 $i=1,2,\dots ,m$，系数 $k_i\le p_i$，其中 $p_i$ 是第 $i$ 个特征值的重数。

定理 4.3 · 凯莱–哈密顿定理 (Cayley–Hamilton theorem)

（凯莱–哈密顿）有限维向量空间 $V$ 上的每个线性算符 $S$ 都满足其自身的特征方程

$$f(S)={\left(S-{\lambda }_1\right)}^{p_1}{\left(S-{\lambda }_2\right)}^{p_2}\dots {\left(S-{\lambda }_m\right)}^{p_m}=0.$$

等价地，每个 $n\times n$ 矩阵 $S$ 都满足其自身的特征方程

$$f(\mathsf{S})={\left(\mathsf{S}-{\lambda }_1\mathsf{I}\right)}^{p_1}{\left(\mathsf{S}-{\lambda }_2\mathsf{I}\right)}^{p_2}\dots {\left(\mathsf{S}-{\lambda }_m\mathsf{I}\right)}^{p_m}=0.$$

证明

设 $e_1,e_2,\dots ,e_n$ 为 $V$ 的任意一组基，并令 $\mathsf{S}=[S_j^k]$ 为 $S$ 关于这组基的分量矩阵，

$$S{e}_j=S_j^k{e}_k.$$

此方程可写为

$$(S_j^k{\mathrm{id}}_V-{\delta }_j^{k}S)e_k=0,$$

或等价地表示为

$$T_j^k(S)e_k=0,\text{\hspace{1em}(4.15)}$$

其中

$$T_j^k(z)=S_j^k-{\delta }_j^{k}z.$$

令 $\mathsf{R}(z)=[R_j^k(z)]$ 为 $\mathsf{T}(z)=[T_j^k(z)]$ 的余子式矩阵，使得

$$R_i^j(z)T_j^k(z)={\delta }_i^k\det \mathsf{T}(z)={\delta }_i^{k}f(z).$$

分量 $R_j^k(z)$ 是 $z$ 中次数为 $\le (n-1)$ 的多项式，将方程 (4.15) 的两边乘以 $R_i^j(S)$ 得到

$$R_i^j(S)T_j^k(S)e_k={\delta }_i^{k}f(S)e_k=f(S)e_i=0.$$

由于 $e_i$ 张成 $V$，我们便得到所需结果 $f(S)=0$。矩阵版本不过是该方程的分量版本。

例 4.5

设 $A$ 为复 $4\times 1$ 列向量空间上的矩阵算符，由

$$\mathsf{A}=\left(\begin{array}{cccc}i& \alpha & 0& 0\\ 0& i& 0& 0\\ 0& 0& i& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right).$$

$A$ 的逐次幂为

$${\mathsf{A}}^2=\left(\begin{array}{cccc}-1& 2i\alpha & 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right),{\mathsf{A}}^3=\left(\begin{array}{cccc}-i& -3\alpha & 0& 0\\ 0& -i& 0& 0\\ 0& 0& -i& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$$

并且可以直接验证矩阵 $I$、$A$、${\mathsf{A}}^2$ 是线性无关的，而

$${\mathsf{A}}^3=(-1+2i){\mathsf{A}}^2+(1+2i)\mathsf{A}+\mathsf{I}.$$

因此，$A$ 的最小零化多项式是

$$\Delta (z)=z^3+(1-2i)z^2-(1+2i)z-1=(z+1)(z-i{)}^2.$$

因此，$A$ 的初等因子为 $z+1$ 和 $(z-i{)}^2$，特征值为 $-1$ 和 $i$。特征多项式的计算表明

$$f(z)=\det (\mathsf{A}-z\mathsf{I})=(z+1)(z-i{)}^3,$$

其可被 $\Delta (z)$ 整除，与定理 4.3 一致。

问题

习题 4.1

一个 $n\times n$ 矩阵 $\mathsf{T}=[T_j^i]$ 的 迹(trace) 定义为其对角元素之和，

$$\mathrm{tr}\mathsf{T}=T_i^i=T_1^1+T_2^2+\cdots +T_n^n.$$

证明

(a) $\mathrm{tr}(\mathsf{ST})=\mathrm{tr}(\mathsf{TS})$

(b) $\mathrm{tr}({\mathsf{ATA}}^{-1})=\mathrm{tr}T.$

(c) 若 $T:V\to V$ 是任意算符，则定义其迹为它关于基 $\{e_i\}$ 的矩阵的迹。证明此定义与基的选择无关，因此写 $\mathrm{tr}$ $T$ 时没有歧义。

(d) 若 $f(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\cdot \cdot \cdot +(-1{)}^n{z}^n$ 是算符 $T$ 的特征多项式，证明 $\mathrm{tr}$ $T=(-1{)}^{n-1}{a}_{n-1}.$

(e) 若 $T$ 具有特征值 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$，其重数为 $p_1,\dots ,p_m$，证明

$$\mathrm{tr}T=\sum _{i=1}^m{p}_i{\lambda }_i.$$