特征值 / Eigenvalue

Szekeres · §4.1 特征子空间与特征方程

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特征向量与特征值

给定算符 $S:V\to V,$，若存在非零向量 $v$ 使得，则标量 $\lambda \in \mathbb{K}$ 称为 $S$ 的 特征值(eigenvalue)

$$Sv=\lambda v(v\ne 0)\text{\hspace{1em}(4.6)}$$

而 $v$ 称为 $S$ 对应于特征值 $\lambda$ 的一个 特征向量(eigenvector)。特征向量是那些在算符 $S$ 作用下被“拉伸”了 $\lambda$ 的非零向量。必须规定 $v\ne 0$，因为方程 Eq. (4.6) 对零向量 $\mathcal{S}0=0=\lambda 0.$ 总是成立。

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原文位置：§4.1；PDF 页 3；印刷页 100

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Woit · §4.7 Eigenvalues and eigenvectors

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我们已经看到，当改变 $V$ 的基的选择时，向量空间 $V$ 的线性变换 $L$ 的矩阵通过共轭改变。 为了获得关于 $L,$ 的与基无关的信息，人们考虑该矩阵的特征值。 复矩阵的行为比实矩阵简单得多， 因为在复情形下特征值方程

$$\det (\lambda 1-L)=0\text{\hspace{1em}(4.5)}$$

总是可以分解为线性因子。对于任意的 $n$ 乘 $n$ 复矩阵，将有 $n$ 个解（按重数计重复特征值）。将存在一个基，使得该矩阵呈上三角形式。

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来源版本：2025-10-20

原文位置：§4.7；PDF 页 61、62；印刷页 44、45

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