23.5 巴格曼变换

斯通-冯·诺依曼定理蕴含了以下存在性：

定义

Bargmann 变换

存在一个称为巴格曼变换的酉映射

B : H_{S} \to F

将薛定谔表示与巴格曼-福克表示交织起来， $i . e .$ ，其中算符满足该关系

Γ_{S}^{'} (X) = B^{- 1} Γ_{B F}^{'} (X) B

对于 $X \in h_{3}$

在实践中，通常并不需要显式地知道 $B$ ，因为表示无关的关系

a = \frac{1}{2} (Q + i P)

可以仅用a和 $a^{†}$ 来表达算符，它们具有简单的表达式

a = \frac{d}{d z}, a^{†} = z

在Bargmann-Fock表示中，或纯粹用具有简单表达式的 $Q$ 和 $P$ 来表示

Q = q, P = - i \frac{d}{d q}

在薛定谔表示中。

为计算 Bargmann 变换，人们使用方程 23.11，对于不可归一化的连续基态 $∣ δ_{u}$ ，得到

⟨ q ∣ δ_{u} ⟩ = (\frac{ω}{π})^{\frac{1}{4}} e^{- \frac{u ^{2}}{2}} e^{- \frac{ω}{2} q^{2}} e^{2 ω \overline{u} q}

和

⟨ δ_{u} ∣ q ⟩ = (\frac{ω}{π})^{\frac{1}{4}} e^{- \frac{u ^{2}}{2}} e^{- \frac{ω}{2} q^{2}} e^{2 ω u q} (23.13)

于是 Bargmann 变换由下式给出

(B ψ) (z) = \int_{- \infty}^{+ \infty} ⟨ δ_{z} ∣ q ⟩ ⟨ q ∣ ψ ⟩ d q = (\frac{ω}{π})^{\frac{1}{4}} e^{- \frac{z ^{2}}{2}} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- \frac{ω}{2} q^{2}} e^{2 ω z q} ψ (q) d q (23.14)

（此处 $ψ (q)$ 是位置空间波函数），而逆 Bargmann 变换由下式给出

(B^{- 1} ϕ) (q) = \frac{1}{π} \int_{C} ⟨ q ∣ δ_{u} ⟩ ⟨ δ_{u} ∣ ϕ ⟩ e^{- ∣ u ∣^{2}} d^{2} u = \frac{1}{π} (\frac{ω}{π})^{\frac{1}{4}} e^{- \frac{ω}{2} q^{2}} \int_{C} e^{- \frac{u ^{2}}{2}} e^{2 ω \overline{u} q} ϕ (u) e^{- ∣ u ∣^{2}} d^{2} u

（此处 $ϕ (z)$ 是 Bargmann-Fock 波函数）。

作为对方程23.14的检验，考虑薛定谔表示中最低能量态的情形，其中|0⟩具有坐标空间表示

ψ (q) = (\frac{ω}{π})^{\frac{1}{4}} e^{- \frac{ω q ^{2}}{2}}

和

(B ψ) (z) = (\frac{ω}{π})^{\frac{1}{4}} (\frac{ω}{π})^{\frac{1}{4}} e^{- \frac{z ^{2}}{2}} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- \frac{ω}{2} q^{2}} e^{2 ω z q} e^{- \frac{ω q ^{2}}{2}} d q = (\frac{ω}{π})^{\frac{1}{2}} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- \frac{z ^{2}}{2}} e^{- ω q^{2}} e^{2 ω z q} d q = (\frac{ω}{π})^{\frac{1}{2}} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- ω (q - \frac{z}{2 ω})^{2}} d q = 1

在Bargmann-Fock表示中，态|0⟩的表达式是哪一个。

对于计算谐振子传播子的另一种方法，可以计算对应于先应用Bargmann变换、再应用时间演化算符、然后应用逆Bargmann变换的核。这将给出

⟨ q_{T} ∣ e^{- i H T} ∣ q_{0} ⟩ = \frac{1}{π} \int_{C} ⟨ q_{T} ∣ δ_{u} ⟩ ⟨ δ_{u} ∣ e^{- i T H} ∣ q_{0} ⟩ e^{- ∣ u ∣^{2}} d^{2} u = \frac{1}{π} e^{- i \frac{ω _{T}}{2}} \int_{C} ⟨ q_{T} ∣ δ_{u} ⟩ ⟨ δ_{u e^{- i ω_{T}}} ∣ q_{0} ⟩ e^{- ∣ u ∣^{2}} d^{2} u

由 23.12 可以通过对高斯积分进行（困难的）操作推导得出。

来源与版本

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来源版本：2025-10-20

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机翻模型：deepseek-v4.1-flash

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