23.4 谐振子传播子

23.4 谐振子传播子

在 12.5 节中我们看到，对于自由粒子量子系统，能量本征态是动量本征态，而在动量空间表示中，经过时间间隔 $T$ 的时间演化由一个核给出（见方程 12.6）。

$$\tilde{U}(T,k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-i\frac{1}{2m}{k}^{2}T}$$

位置空间传播子是通过计算其傅里叶变换得到的。对于谐振子，能量本征态不再是动量本征态，因此需要不同的方法来计算时间演化算符 $e^{-iHT}$ 的作用。

23.4.1 Bargmann-Fock 表示中的传播子

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值

在巴格曼-福克表示中，哈密顿算子是算符

$$H=\omega \left(a^{†}a+\frac{1}{2}\right)=\omega \left(z\frac{d}{dz}+\frac{1}{2}\right)$$

（这里我们选取 $\hslash =1$ 和 $m=1$，但不再固定 $\omega =1)$，而能量本征态是态 $n$

$$\frac{z^n}{\sqrt{n!}}=|n⟩$$

具有能量特征值

$$\omega \left(n+\frac{1}{2}\right)$$

$e^{-iHT}$ 将在此基下对角化，且

$$e^{-iHT}|n⟩=e^{-i\omega (n+\frac{1}{2})T}|n⟩$$

与薛定谔绘景中态演化而算符保持不变不同，人们可以转而采用海森堡绘景（见 7.3 节），其中态保持不变，而算符 $\mathcal{O}$ 随时间演化，其规律为

$$\frac{d}{dt}\mathcal{O}(t)=i[H,\mathcal{O}(t)]$$

带解

$$\mathcal{O}(t)=e^{itH}\mathcal{O}(0)e^{-itH}$$

在谐振子问题中，我们可以用湮灭算符和产生算符来表示其他算符，这些算符按照

$$\frac{d}{dt}a(t)=i[H,a(t)]=-i\omega a,\frac{d}{dt}{a}^{†}(t)=i[H,a^{†}(t)]=i\omega a^{†}$$

附解答

$$a(t)=e^{-i\omega t}a(0),a^{†}(t)=e^{i\omega t}{a}^{†}(0)$$

哈密顿算符是时间不变的。

关于时间演化的问题现在变成了关于在不同时刻取的湮灭算符与产生算符的各种乘积、并作用于各种海森堡绘景态的问题。由于任意态都由反复将 $a^{†}(0)$ 作用于 |0⟩ 所产生的态的线性组合给出，这类问题可以归结为计算仅涉及态 |0⟩ 的表达式，其中各种产生算符和湮灭算符在不同时刻被作用。非零结果将来自涉及

$$⟨0|a(T)a^{†}(0)|0⟩=e^{-i\omega T}$$

对于$T>0$，其可解释为在时刻$t=0$向最低能量态添加一个量子、随后在时刻$t=T$将其移除这一过程的振幅。

23.4.2 相干态传播子

这些态之所以被称为“相干”的一个可能原因是，在时间演化过程中（对于谐振子哈密顿算子），它们始终保持为相干态，其中 $\alpha$ 沿经典相空间轨迹随时间演化。如果 $t=0$ 时刻的态是由 ${\alpha }_0\left(|\psi (0)⟩=|{\alpha }_0⟩\right)$ 标记的相干态，那么根据 23.2，在之后时刻有

$$\begin{array}{rl}|\psi (t)⟩& =e^{-iHt}|{\alpha }_0⟩\\ & =e^{-iHt}{e}^{-\frac{|{\alpha }_0{|}^2}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\alpha }_0^n}{\sqrt{n!}}|n⟩\\ & =e^{-i\frac{1}{2}\omega t}{e}^{-\frac{|{\alpha }_0{|}^2}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{e^{-i\omega nt}{\alpha }_0^n}{\sqrt{n!}}|n⟩\\ & =e^{-i\frac{1}{2}\omega t}{e}^{-\frac{|e^{-i\omega t}{\alpha }_0{|}^2}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(e^{-i\omega t}{\alpha }_0{)}^n}{\sqrt{n!}}|n⟩\\ & =e^{-i\frac{1}{2}\omega t}|e^{-i\omega t}{\alpha }_0⟩\end{array}\text{\hspace{1em}(23.9)}$$

在相差相位因子$e^{-i\frac{1}{2}\omega t}$的意义下，这仍是一个相干态，其标记$\alpha$的时间依赖性由谐振子复坐标$\begin{array}{r}\overline{z}(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{\omega }q(t)+\frac{i}{\sqrt{\omega }}p(t))\end{array}$的经典时间依赖性给出（见22.1），其中$\overline{z}(0)={\alpha }_0$

方程23.3和23.9可用于以相干态计算传播子函数，结果为

$$⟨{\alpha }_T|e^{-iHT}|{\alpha }_0⟩=\exp (-\frac{1}{2}(|{\alpha }_0{|}^2+|{\alpha }_T{|}^2)+{\overline{\alpha }}_T{\alpha }_0{e}^{-i\omega T}-\frac{i}{2}\omega T)\text{\hspace{1em}(23.10)}$$

23.4.3 位置空间传播子

相干态可以通过计算在位置空间表示中表达出来

$$\begin{array}{rl}⟨q|\alpha ⟩& =⟨q|e^{-\frac{|\alpha {|}^2}{2}}{e}^{\alpha a^{†}}|0⟩\\ & =e^{-\frac{|\alpha {|}^2}{2}}{e}^{\frac{\alpha }{\sqrt{2}}(\sqrt{\omega }q-\frac{1}{\sqrt{\omega }}\frac{d}{dq})}(\frac{\omega }{\pi }{)}^{\frac{1}{4}}{e}^{-\frac{\omega }{2}{q}^2}\\ & =(\frac{\omega }{\pi }{)}^{\frac{1}{4}}{e}^{-\frac{|\alpha {|}^2}{2}}{e}^{\alpha \sqrt{\frac{\omega }{2}}q}{e}^{-\frac{\alpha }{\sqrt{2\omega }}\frac{d}{dq}}{e}^{-\frac{{\alpha }^2}{4}}{e}^{-\frac{\omega }{2}{q}^2}\\ & =(\frac{\omega }{\pi }{)}^{\frac{1}{4}}{e}^{-\frac{|\alpha {|}^2}{2}}{e}^{-\frac{{\alpha }^2}{4}}{e}^{\alpha \sqrt{\frac{\omega }{2}}q}{e}^{-\frac{\omega }{2}(q-\frac{\alpha }{\sqrt{2\omega }}{)}^2}\\ & =(\frac{\omega }{\pi }{)}^{\frac{1}{4}}{e}^{-\frac{|\alpha {|}^2}{2}}{e}^{-\frac{{\alpha }^2}{2}}{e}^{-\frac{\omega }{2}{q}^2}{e}^{\sqrt{2\omega }\alpha q}\end{array}\text{\hspace{1em}(23.11)}$$

该表达式给出了位置空间基与相干态基之间的变换。于是，位置空间基中的传播子可以计算为

$$⟨q_T|e^{-iHT}|q_0⟩=\frac{1}{{\pi }^2}{\int }_{{\mathbf{C}}^2}⟨q_T|{\alpha }_T⟩⟨{\alpha }_T|e^{-iHT}|{\alpha }_0⟩⟨{\alpha }_0|q_0⟩d^2{\alpha }_T{d}^2{\alpha }_0$$

使用方程23.10、23.11（及其复共轭）以及方程23.7。

我们在此不进行这一（相当困难的）计算，而只引用结果，即

$$⟨q_T|e^{-iHT}|q_0⟩=\sqrt{\frac{\omega }{i2\pi \sin (\omega T)}}\exp \left(\frac{i\omega }{2\sin (\omega T)}((q_0^2+q_T^2)\cos (\omega T)-2q_0{q}_T)\right)\text{\hspace{1em}(23.12)}$$

容易看出，当 $T0$ 时，这将趋近于自由粒子传播子（方程 12.9，其中 $m=1)$

$$⟨q_T|e^{-iHT}|q_0⟩\approx \sqrt{\frac{1}{i2\pi T}}{e}^{\frac{i}{2T}(q_T-q_0{)}^2}$$

并且在这种情况下，当$T0$时，它成为分布$\delta (q_0-q_T)$。不难验证，23.12满足谐振子薛定谔方程（在$q=q_T$和$t=T$中，对于任意初始$\psi (q_0,0))$）。

与自由粒子情形一样，谐振子传播子可以先定义为复变量 $s=\tau +iT$ 的函数，在 $\tau >0$ 时全纯，然后取 $\tau 0.$ 时的边界值。这确定了 23.12 中平方根的分支，并且可以发现（例如见 [108] 的 7.6.7 节），平方根因子需要取为

$$\sqrt{\frac{\omega }{i2\pi \sin (\omega T)}}=e^{-i\frac{\pi }{4}}{e}^{-in\frac{\pi }{2}}\sqrt{\frac{\omega }{2\pi |\sin (\omega T)|}}$$

对于 $\omega T\in [n\pi ,(n+1)\pi ]$

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