32 总结：玻色子与费米子量子化之间的平行关系

为总结我们所涵盖的大量内容，考虑下表可能是有益的，该表明确给出了我们在玻色子和费米子情形下所研究的平行构造之间的对应关系。

玻色子	费米子
对偶相空间 $M = R^{2 d}$	对偶相空间 $V = R^{n}$
非退化反对称双线性形式 $Ω (\cdot, \cdot)$ 在 $M$ 上	非退化对称双线性形式 $(\cdot, \cdot)$ 在 $V$ 上
泊松括号 ${\cdot, \cdot}$ 作用于 $M = R^{2 d}$ 上的函数	泊松括号 ${\cdot, \cdot}_{+}$ 作用于 $V = R^{n}$ 上的反交换函数
0、1、2次多项式的李代数	0、1、2次反交换多项式的李超代数
坐标 $q_{j}, p_{j}$ ， $M$ 的基	坐标 $ξ_{j}$ ， $V$ 的基
$q_{j}, p_{j}$ 中的二次式， $sp (2 d, R)$ 的基	$ξ_{j}$ 中的二次式， $so (n)$ 的基
$S p (2 d, R)$ 保持 $Ω (\cdot, \cdot)$	$S O (n, R)$ 保持 $(\cdot, \cdot)$
韦尔代数 Weyl( $2 d, C$ )	克利福德代数 Cliff( $n, C$ )
动量、位置算符 $P_{j}, Q_{j}$	克利福德代数生成元 $γ_{j}$
$P_{j}, Q_{j}$ 中的二次式给出 $sp (2 d, R)$ 的表示	$γ_{j}$ 中的二次式给出 $so (2 d)$ 的表示
元辛表示	旋量表示

斯通–冯·诺依曼，

$h_{2 d + 1}$ 表示的唯一性

$M p (2 d, R)$ 是 $S p (2 d, R)$ 的双重覆盖

J : J^{2} = - 1, Ω (J u, J v) = Ω (u, v)

M \otimes C = M_{J}^{+} \oplus M_{J}^{-}

坐标 $z_{j} \in M_{J}^{+}, \overline{z}_{j} \in M_{J}^{-}$

$U (d) \subset S p (2 d, R)$ 与 $J$ 交换

相容的 $J \in S p (2 d, R) / U (d)$

$a_{j}, a_{j}^{†}$ 满足 CCR

$a_{j} ∣0 ⟩ = 0, ∣0 ⟩$ 依赖于 $J$

H = F_{d}^{f in} = C [z_{1}, \dots, z_{d}] = S^{*} (C^{d})

a_{j}^{†} = z_{j}, a_{j} = \frac{\partial}{\partial z _{j}}

正性条件，导致酉的状态空间：

对于非零的 $v \in M$ ，有 $Ω (v, J v) > 0$

$⟨ u, u ⟩ = i Ω (\overline{u}, u) > 0$ 对于

非零 $u$ $\in M_{J}^{+}$

$Cliff (2 d, C)$ 表示在旋量上的唯一性

$S p in (n)$ 是 $S O (n)$ 的双重覆盖

J : J^{2} = - 1, (J u, J v) = (u, v)

V \otimes C = V_{J}^{+} \oplus V_{J}^{-}

坐标 $θ_{j} \in V_{J}^{+}, \overline{θ}_{j} \in V_{J}^{-}$

$U (d) \subset S O (2 d, R)$ 与 $J$ 可交换

相容的 $J \in O (2 d) / U (d)$

满足 CAR 的 $a_{F j}, a_{F_{j}} †$

$a_{F j} ∣0 ⟩ = 0, ∣0 ⟩$ 依赖于 $J$

H = F_{d}^{+} = Λ^{*} (C^{d})

a_{j}^{†} = θ_{j}, a_{j} = \frac{\partial}{\partial θ _{j}}

对于非零的 $v \in V$ ， $(v, v) > 0$

⟨ u, u ⟩ = (\overline{u}, u) > 0 for

非零 $u$ $\in V_{J}^{-}$ 或 $V_{J}^{+}$

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机翻模型：deepseek-v4.1-flash