31 费米子量子化与旋量

在本章中，我们将首先考察量子化概念的费米子类比，该概念取相空间上反交换变量的函数，并带有对称双线性形式 $(\cdot, \cdot)$ ，进而给出一个算符代数，其生成元满足相应 Clifford 代数关系。随后，我们将考虑玻色子情形中所用构造的类比，在那里这些构造为我们给出了状态空间上 Weyl 代数的 Schr¨odinger 表示与 Bargmann-Fock 表示。

我们知道，对于具有 $d$ 个自由度的费米子振子，算符代数将是 $Cliff (2 d, C)$ ，即由湮灭算符和产生算符 $a_{F j}, a_{F_{j}} †$ 生成的代数。这些算符将作用于 $H_{F} = F_{d}^{+}$ ，一个维数为 $2^{d}$ 的复向量空间，这将提供玻色子 $Γ_{B F}^{'}$ 作用于 $F_{d} .$ 的费米子类比。由于自旋群由克利福德代数的可逆元素组成，它在 $F_{d}^{+}$ 上有表示。这被称为“旋量表示”，并且可以通过类比玻色子情形中迷向表示的构造来构造。我们还将考虑费米子情形中薛定谔表示的类比，结果发现它在幺正性方面存在问题，但在物理学中作为“鬼”自由度找到了用途。

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来源版本：2025-10-20

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