35.1 拉格朗日力学

35.1 拉格朗日力学

在拉格朗日形式中，人们考虑的不是由位置 $q_j$ 和动量 $p_j$ 构成的相空间 ${\mathbf{R}}^{2d}$，而只是位置（或位形）空间 ${\mathbf{R}}^d$。人们拥有的不是哈密顿算子 $h(\mathbf{q},\mathbf{p})$，而是：

定义（拉格朗日量）

对于位形空间为 ${\mathbf{R}}^d$ 的经典力学系统，其拉格朗日量 $L$ 是一个函数

$$L:(\mathbf{q},\mathbf{v})\in {\mathbf{R}}^d\times {\mathbf{R}}^d\to L(\mathbf{q},\mathbf{v})\in \mathbf{R}$$

给定由函数定义的位形空间中的可微路径

$$\gamma :t\in [t_1,t_2]\to {\mathbf{R}}^d$$

我们将用它们的位置向量和速度向量来表示

$$\gamma (t)=(\mathbf{q}(t),\dot{\mathbf{q}}(t))$$

可以在这样的路径空间上定义一个泛函：

定义（作用量）

路径 $\gamma$ 的作用量 $S$ 为

$$S[\gamma ]={\int }_{t_1}^{t_2}L(\mathbf{q}(t),\dot{\mathbf{q}}(t))dt$$

经典力学在拉格朗日形式下的基本原理是，经典轨迹由作用量泛函的临界点给出。这些临界点可能对应于作用量的极小值（因此这有时被称为“最小作用量原理”），但对于不是作用量极小值的临界点，也能得到经典轨迹。可以如下定义临界点的适当概念：

定义（ $S$ 的临界点）

路径 $\gamma$ 是泛函 $S[\gamma ]if$ 的临界点

$$\delta S(\gamma )\equiv \frac{d}{ds}S({\gamma }_s{)}_{|s=0}=0$$

其中

$${\gamma }_s:[t_1,t_2]\to {\mathbf{R}}^d$$

是一条由区间 $s\in (-ϵ,ϵ)$ 参数化的光滑路径族，且满足 ${\gamma }_0=\gamma$

我们现在忽略分析细节，采用物理学家的解释，将$\delta S$视为由于路径的无穷小变化$\delta \gamma =$ $(\delta \mathbf{q}(t),\delta \dot{\mathbf{q}}(t))$而引起的$S$的一阶变化。

当$(\mathbf{q}(t),\dot{\mathbf{q}}(t))$满足某个微分方程时，路径$\gamma$将是一个临界点，因而是一条经典轨迹：

定理（欧拉-拉格朗日方程）

有

$$\delta S[\gamma ]=0$$

对于 $\gamma$ 的所有变分，其端点 $\gamma (t_1)$ 与 $\gamma (t_2)$ 固定 $if$

$$\frac{\partial L}{\partial q_j}(\mathbf{q}(t),\dot{\mathbf{q}}(t))-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_j}(\mathbf{q}(t),\dot{\mathbf{q}}(t))\right)=0$$

对于 $j=1,\cdots ,d.$。这些被称为欧拉-拉格朗日方程。

证明。忽略分析细节，欧拉-拉格朗日方程由以下计算得出，我们仅对 $d=1$ 进行这些计算，推广到更高阶的 $d$ 是直接的。我们正在计算由于无穷小变化 $\delta \gamma =(\delta q(t),\delta \dot{q}(t))$ 引起的 $S$ 的一阶变化。

$$\begin{array}{rl}\delta S[\gamma ]& ={\int }_{t_1}^{t_2}\delta L(q(t),\dot{q}(t))dt\\ & ={\int }_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q}(q(t),\dot{q}(t))\delta q(t)+\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}(q(t),\dot{q}(t))\delta \dot{q}(t)\right)dt\end{array}$$

但是

$$\delta \dot{q}(t)=\frac{d}{dt}\delta q(t)$$

并且，利用分部积分

$$\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q}(t)=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q\right)-\left(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)\delta q$$

因此

$$\begin{array}{rl}\delta S[\gamma ]& ={\int }_{t_1}^{t_2}\left(\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)\delta q-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q\right)\right)dt\\ & ={\int }_{t_1}^{t_2}\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)\delta qdt-\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q\right)(t_2)+\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q\right)(t_1)\end{array}\text{\hspace{1em}(35.1)}$$

如果我们保持端点固定，使得 $\delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0$，那么对于以下方程的解

$$\frac{\partial L}{\partial q}(q(t),\dot{q}(t))-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}(q(t),\dot{q}(t))\right)=0$$

对于任意变分$\delta \mathbf{q}$，该积分将为零

例如，在势 $V(\mathbf{q})$ 中运动的粒子将由一个拉格朗日量描述

$$L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})=\frac{1}{2}m|\dot{\mathbf{q}}{|}^2-V(\mathbf{q})$$

对于这些，欧拉-拉格朗日方程将是

$$-\frac{\partial V}{\partial q_j}=\frac{d}{dt}(m{\dot{q}}_j)=m{\ddot{q}}_j$$

这正是牛顿第二定律，它表明由势能产生的力等于粒子的质量乘以其加速度。

给定一个拉格朗日经典力学系统，人们希望能够找到一个相应的哈密顿系统，使其给出相同的运动方程。为此，我们通过为每个构型坐标 $q_j)$ 定义相应的动量坐标 $p_j$ 来进行

$$p_j=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_j}$$

于是，不再处理在时刻 $t$ 由以下条件刻画的特征标轨迹：

$$(\mathbf{q}(t),\dot{\mathbf{q}}(t))\in {\mathbf{R}}^{2d}$$

我们转而希望使用

$$(\mathbf{q}(t),\mathbf{p}(t))\in {\mathbf{R}}^{2d}$$

其中 $\begin{array}{r}{p}_j=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_j}\end{array}$，并将此 ${\mathbf{R}}^{2d}$ 视为（例如在 $t=0)$ 时）传统哈密顿形式体系的相空间。

该变换

$$\left(q_j,{\dot{q}}_k\right)\to \left(q_j,p_k=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}\right)$$

位置-速度空间与相空间之间的变换称为勒让德变换，在良好情形下（例如当 $L$ 对所有速度都是二次的时），它是一个同构。不过一般而言，这并不是同构，勒让德变换常常将位置-速度空间映到相空间的一个较低维子空间。这类情形并不罕见，并且即使作为经典力学系统，也需要复杂得多的形式体系（这一主题称为“约束哈密顿动力学”）。我们将在第 46 章研究的一个重要例子是自由电磁场，其运动方程为麦克斯韦方程。在这种情况下，位形空间坐标是矢势的分量 $\left(A_0,A_1,A_2,A_3\right)$，问题之所以出现，是因为拉格朗日量不依赖于 ${\dot{A}}_0$

除相空间外，对于哈密顿系统还需要一个哈密顿函数。选择

$$h=\sum _{j=1}^d{p}_j{\dot{q}}_j-L(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}})$$

只要该关系成立，就行

$$p_j=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_j}$$

可用于求解速度${\dot{q}}_j$，并将它们用动量变量表示。在这种情况下，计算$h$的微分可得（对于$d$ = 1，推广到更高$d$是直接的）

$$\begin{array}{rl}dh& =pd\dot{q}+\dot{q}dp-\frac{\partial L}{\partial q}dq-\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}d\dot{q}\\ & =\dot{q}dp-\frac{\partial L}{\partial q}dq\end{array}$$

因此，有

$$\frac{\partial h}{\partial p}=\dot{q},\frac{\partial h}{\partial q}=-\frac{\partial L}{\partial q}$$

但这正是哈密顿方程，因为欧拉-拉格朗日方程蕴含

$$\frac{\partial L}{\partial q}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=\dot{p}$$

虽然上面给出的勒让德变换方法在某些情形下有效，但更一般且更抽象地说，人们可以通过取欧拉-拉格朗日方程解的空间作为相空间，从拉格朗日形式过渡到哈密顿形式。这有时被称为“协变相空间”，并且通常可以通过固定一个时间 $t=0$ 并用解在该 a $t=0$ 处的初始条件来参数化解，从而具体实现。人们也可以直接从作用量出发，在这个协变相空间上得到某种泊松括号（这被称为“皮尔斯括号”）。对于一般的拉格朗日量，人们可以通过这种方法，或者通过带约束的哈密顿力学方法，过渡到哈密顿形式的一种版本。然而，只有对于一类特殊的拉格朗日量，人们才会在线性相空间上得到一个非退化的泊松括号，并恢复标准哈密顿形式的通常性质。

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来源版本：2025-10-20

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