35.2 拉格朗日形式体系中的诺特定理与对称性

35.2 拉格朗日形式体系中的诺特定理与对称性

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李群 · 群在集合上的作用

上面给出的欧拉-拉格朗日方程导子也可用于研究拉格朗日系统李群对称性的蕴含。当一个李群$G$作用在路径空间上并保持作用量$S$时，它会把经典轨迹变为经典轨迹，因此我们有一个作用在运动方程（即欧拉-拉格朗日方程）解空间上的李群作用。在这个解空间上，由方程35.1（推广到多个坐标变量）可得，

$$\delta S[\gamma ]=\left(\sum _{j=1}^d\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_j}\delta q_j(X)\right)(t_1)-\left(\sum _{j=1}^d\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_j}\delta q_j(X)\right)(t_2)$$

其中现在 $\delta q_j(X)$ 是经典轨迹的无穷小变化，它来自 $G$ 的李代数中元素 $X$ 的无穷小群作用。由作用量 $S$ 在 $G$ 下的不变性，我们必须有 $\delta S=0$，因此

$$\left(\sum _{j=1}^d\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_j}\delta q_j(X)\right)(t_2)=\left(\sum _{j=1}^d\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_j}\delta q_j(X)\right)(t_1)$$

这是一个更一般结果的特例，该结果称为“诺特定理”。在此语境下，它表明：给定李群作用量作用于拉格朗日系统且保持作用量不变，则对李代数中的每个元素$X$，我们都将有一个守恒量。

$$\sum _{j=1}^d\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_j}\delta q_j(X)$$

其沿轨迹与时间无关。

一个基本例子出现在拉格朗日量不依赖于位置变量$q_j,$而只依赖于速度${\dot{q}}_j$时，例如在自由粒子的情形中，此时$V(q_j)=0$。在这种情况下，拉格朗日量在空间平移李群${\mathbf{R}}^d$下具有不变性。取$X$为沿$j$方向的无穷小平移，则守恒量为

$$\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_j}=p_j$$

对于自由粒子的情形，这将是

$$\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_j}=m{\dot{q}}_j$$

而守恒定律就是动量第$j$个分量的守恒。另一个例子是（在$d=3)$中）由拉格朗日量在群$SO(3)$通过$q_j$的旋转作用下的旋转不变性给出的。可以证明，对于$X$为绕$k$轴的无穷小旋转，角动量向量的第$k$个分量

$$\mathbf{q}\times \mathbf{p}$$

将是一个守恒量。

拉格朗日形式体系的优势在于，动力学仅取决于在可能轨迹的空间上对作用量泛函的选择，并且它可以直截了当地推广到其位形空间是经典场的无限维空间的理论。与这类理论通常的哈密顿算子形式体系不同，拉格朗日形式体系允许人们对称地处理空间与时间。对于相对论性场论，这允许人们利用完整的时空对称集合，这些对称可以混合空间方向与时间方向。在这类理论中，诺特定理提供了一个强有力的工具，用于找出与系统对称相对应的守恒量，这些对称源于作用量在某个变换群下的不变性。

另一方面，在拉格朗日形式中，由于诺特定理仅考虑位形空间上的群作用，它并不涵盖混合位置与动量坐标的哈密顿群作用的情形。回忆一下，在哈密顿形式中，矩映射给出对应于保持泊松括号的群作用的函数。当群作用由位形空间上的作用给出时，这些函数将给出与诺特定理在对称性情形下（即与哈密顿函数泊松对易的函数）所得到的相同的守恒量。

作为一个未被诺特定理涵盖的重要例子，我们对谐振子的研究运用了几种在拉格朗日形式体系中无法获得的技术（利用相空间上的复结构，以及 qp 平面中旋转的 $U(1)$ 对称性），而拉格朗日形式体系只使用位形空间，不使用相空间。

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来源版本：2025-10-20

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