等价范数 (equivalent norms)

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§10.9 · zh-CN · translation · unreviewed

习题 10.34

设向量空间 $V$ 上的两个范数 $\Vert u{\Vert }_1$ 与 $\Vert u{\Vert }_2$ 称为 等价范数(equivalent norms)，如果存在常数 $A$ 和 $B$，使得

$$\Vert u{\Vert }_1\le A\Vert u{\Vert }_2\text{ and }\Vert u{\Vert }_2\le B\Vert u{\Vert }_1$$

对于所有 $u\in V$。如果两个范数等价，则证明以下结论：

(a) 若关于一种范数 $u_n\to u$，则关于另一种范数这也成立。

(b) 关于一种范数连续的每个线性泛函，关于另一种范数也连续。

(c) 设 $V=\mathcal{C}[0,1]$ 为区间 [0, 1] 上连续复函数的向量空间。通过考虑函数序列

$$f_n(x)=\frac{n}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-n^2{x}^2}$$

证明这些范数

$$\Vert f{\Vert }_1=\sqrt{{\int }_0^1|f{|}^2\mathrm{d}x}\text{ and }\Vert f{\Vert }_2=\max \{|f(x)|\mid 0\le x\le 1\}$$

并不等价。

(d) 证明由 $F(f)=f(1)$ 定义的线性泛函关于 $\Vert \cdot {\Vert }_2$ 连续，但关于 $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 不连续

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