10.9 拓扑向量空间

English

一个 拓扑向量空间(topological vector space) 是定义了 豪斯多夫 拓扑的向量空间 $V$，使得向量加法与标量乘法这两种运算在其各自的定义域上关于该拓扑都是连续函数，

$$\begin{array}{ll}\psi :V\times V\to V& \text{ defined by }\psi (u,v)=u+v,\\ \tau :\mathbb{K}\times V\to V& \text{ defined by }\tau (\lambda ,v)=\lambda v.\end{array}$$

我们将始终假定标量域为实数域或复数域，$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{K}=\mathbb{C};$，在后一种情形下，拓扑为 ${\mathbb{R}}^2$ 中的标准拓扑。

回忆第 10.3 节，向量序列 $v_n\in V$ 称为收敛的，如果存在一个向量 $v\in V$，称为其极限，使得对于 $v$ 的每个开邻域 $U$，都存在一个整数 $N$，使得对于所有 $n\ge N$ 都有 $v_n\in U$。我们也说该序列收敛到 $v$，记作

$$v_n\to v\text{ or }\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n=v.$$

收敛序列的下列性质易于证明：

$$v_n\to v\text{ and }{v}_n\to v^{\prime }⟹v=v^{\prime },\text{\hspace{1em}(10.3)}$$

$$v_n=v\text{ for all }n⟹v_n\to v,\text{\hspace{1em}(10.4)}$$

$$\text{ if }\{v_n^{\prime }\}\text{ is a subsequence of }{v}_n\to v\text{ then }{v}_n^{\prime }\to v,\text{\hspace{1em}(10.5)}$$

$$u_n\to u,v_n\to v⟹u_n+\lambda v_n\to u+\lambda v,\text{\hspace{1em}(10.6)}$$

其中 $\lambda \in \mathbb{K}$ 是任意标量。此外，若 ${\lambda }_n$ 是 $\mathbb{K}$ 中的标量收敛序列，则

$${\lambda }_n\to \lambda ⟹{\lambda }_{n}u\to \lambda u.\text{\hspace{1em}(10.7)}$$

例 10.23

向量空间 ${\mathbb{R}}^n$ 关于欧几里得拓扑构成拓扑向量空间。值得给出这一命题的完整证明，因为它为若干其他例子确立了模式。集合 $U\subset {\mathbb{R}}^n$ 是开集，当且仅当对每个 $\mathbf{x}\in U$，存在 $ϵ>0$ 使得

$$I_{ϵ}(\mathbf{x})=\{\mathbf{y}||y_i-x_i|<ϵ,\text{ for all }i=1,\dots ,n\}\subseteq U.$$

为证明向量加法 $\psi$ 是连续的，必须证明对所有的 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n,ϵ>0$，$N={\psi }^{-1}(I_{ϵ}(\mathbf{x}))$ 是 ${\mathbb{R}}^n\times {\mathbb{R}}^n$ 的开子集。若 $\psi (\mathbf{u},\mathbf{v})=\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{x}$，则对任意的 $({\mathbf{u}}^{\prime },{\mathbf{v}}^{\prime })\in I_{ϵ/2}(\mathbf{u})\times I_{ϵ/2}(\mathbf{v})$，我们有对所有的 $i=1,\dots ,n$

$$\begin{array}{c}\left|\right(x_i-(u_i^{\prime }+v_i^{\prime })\left)\right|=\left|\right((u_i-u_i^{\prime })+(v_i-v_i^{\prime })\left)\right|\\ \le \left|\right((u_i-u_i^{\prime })\left)\right|+\left|\right((v_i-v_i^{\prime })\left)\right|\le \frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ.\end{array}$$

因此 $I_{ϵ/2}(\mathbf{u})\times I_{ϵ/2}(\mathbf{v})\subset N$，且 $\psi$ 的连续性得证。

为讨论标量乘法函数 $\tau$ 的连续性，设 $M={\tau }^{-1}(I_{ϵ}(\mathbf{x}))\subset \mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n$ 。若 $\mathbf{x}=a\mathbf{u}$ ，则令 $\mathbf{v}\in I_{\delta }(\mathbf{u})$ 与 $b\in I_{{\delta }^{\prime }}(a)$ 。于是，取 $A={\max }_i\left|u_i\right|$ ，便有

$$\begin{array}{l}|b{v}_i-a{u}_i|=|b{v}_i-b{u}_i+b{u}_i-a{u}_i|\\ \le |b||v_i-u_i|+|b-a||u_i|\\ \le (|a|+{\delta }^{\prime })\delta +{\delta }^{\prime }A\\ \le ϵ\text{ if }{\delta }^{\prime }=\frac{ϵ}{2A}\text{ and }\delta =\frac{ϵ}{2|a|A+ϵ}.\end{array}$$

类似的证明可用于说明复向量空间 ${\mathbb{C}}^n$ 是拓扑向量空间。

例 10.24

由所有无限序列$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots )$构成的向量空间${\mathbb{R}}^{\infty }$是无限维向量空间。我们按所述方式赋予其积拓扑，据此，集合$U$是开集，如果对每个点$\mathbf{x}\in U$，都存在一个有限整数序列$\mathbf{i}=(i_1,i_2,\dots ,i_n)$，使得

$$I_{\mathbf{i},ϵ}(\mathbf{x})=\left\{\mathbf{y}\mid \left|y_{i_k}-x_{i_k}\right|<ϵ\text{ for }k=1,\dots ,n\right\}\subset U.$$

$x$的这个邻域是区间的无限乘积，其中除有限个之外，其余区间均为$\mathbb{R}$的全部。为证明$\psi$和$\tau$是连续函数，我们同样只需证明${\psi }^{-1}(I_{\mathbf{i},ϵ}(\mathbf{x}))$和${\tau }^{-1}(I_{\mathbf{i},ϵ}(\mathbf{x}))$是开集。论证过程与例10.23中的论证基本一致。为证明标量积$\tau$的连续性，我们令$A={\max }_{i\in \mathbf{i}}|u_i|$，其中$\mathbf{x}=a\mathbf{u}$，并按前一例继续。

例 10.25

设 $S$ 为任意集合，并令 $\mathcal{F}(S)$ 为 $S$ 上有界实值函数的集合。这显然是一个向量空间，其向量加法由 $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ 定义，标量乘法由 $(af)(x)=af(x)$ 定义。通过令 $d(f,g)$ 为 $|f(x)-g(x)|$ 在 $S$ 上的最小上界，可以在该空间上定义度量。条件 (Met1)–(Met4) 容易验证。向量空间 $\mathcal{F}(S)$ 关于由该距离函数生成的度量拓扑是一个拓扑向量空间。例如，令 $f(x)=u(x)+v(x)$，则若 $|u^{\prime }(x)-u(x)|<ϵ/2$ 且 $|v^{\prime }(x)-v(x)|<ϵ/2$，立刻可得 $|f(x)-(u^{\prime }(x)+v^{\prime }(x))|<ϵ$。为证明标量加法的连续性，我们再次按例 10.23 进行。若 $f(x)=au(x)$，令 $|b-a|<ϵ/2A$，其中 $A$ 是 $u(x)$ 在 $S$ 中的上界，且对所有 $x\in S;$ 有 $|v(x)-u(x)|<ϵ/(2|a|A+ϵ)$；则

$$|bv(x)-f(x)|<ϵ\text{ for all }x\in S.$$

巴拿赫空间

向量空间 $V$ 上的一个 范数(norm) 是一个映射 $\Vert \cdot \Vert :V\to \mathbb{R}$，它将一个实数 $\Vert v\Vert$ 与每个向量 $v\in V$ 相关联，使得

(范数1) $\Vert v\Vert \ge 0$，且 $\Vert v\Vert =0$ 当且仅当 $v=0$

(范数2) $\Vert \lambda v\Vert =|\lambda |\Vert v\Vert$

(范数3) $\Vert u+v\Vert \le \Vert u\Vert +\Vert v\Vert$

在大多数情况下，标量域取为复数域 $\mathbb{K}=\mathbb{C}$，尽管我们所讨论的许多内容也适用于实赋范空间。我们此前已在复内积空间的背景下遇到过这一概念（见 5.2 节）。

一个范数通过 $d:V\times V\to \mathbb{R}$ 定义距离函数

$$d(u,v)=\Vert u-v\Vert .$$

性质 (Met1)–(Met3) 的验证是平凡的，而三角不等式

$$d(u,v)\le d(u,w)+d(w,v)\text{\hspace{1em}(10.8)}$$

是 (Norm3) 的直接推论，

$$\Vert u-v\Vert =\Vert u-w+w-v\Vert \le \Vert u-w\Vert +\Vert w-v\Vert .$$

我们按第 10.3 节中由开球 $B_a(v)=\{u\mid d(u,v)<a\}$ 生成的标准度量拓扑赋予 $V$。这使其成为一个拓扑向量空间。为证明函数 $(u,v)\mapsto u+v$ 关于该拓扑连续，

$$\Vert u^{\prime }-u\Vert <\frac{ϵ}{2}\text{ and }\Vert v^{\prime }-v\Vert <\frac{ϵ}{2}⟹\Vert u^{\prime }+v^{\prime }-(u+v)\Vert <ϵ$$

利用三角不等式。$(\lambda ,v)\mapsto \lambda v$ 连续的证明遵循例 10.23 的思路。

随文练习

证明范数是一个连续函数 $\Vert \cdot \Vert :V\to \mathbb{R}$

例 10.26

在例10.25中定义的集合$S$上有界实值函数的向量空间$\mathcal{F}(S)$具有范数

$$\Vert f\Vert =\underset{x\in S}{\sup }|f(x)|,$$

由此得到例10.25中的距离函数$d(f,g)$。这称为上确界范数(supremum norm)。

序列的收敛在 $V$ 上定义为

$$u_n\to u\text{ if }d(u_n,u)=\Vert u_n-u\Vert \to 0.$$

如同在 10.3 节中那样，每个收敛序列 $u_i\to u$ 都是柯西序列

$$\Vert u_i-u_j\Vert \le \Vert u-u_i\Vert +\Vert u-u_j\Vert \to 0\text{ as }i,j\to \infty ,$$

但反之未必总成立。若每个柯西序列都收敛，则称赋范向量空间 $(V,\Vert \cdot \Vert )$ 是完备的，或称其为 巴拿赫空间(Banach space)，

$$\Vert u_i-u_j\Vert \to 0\text{ as }i,j\to \infty ⟹u_i\to u\text{ for some }u\in V.$$

随文练习

给出 ${\mathbb{C}}^{\infty }$ 的一个向量子空间的例子，使其为不完备的赋范向量空间。

例 10.27

在向量空间 ${\mathbb{C}}^n$ 上定义标准范数

$$\Vert \mathbf{x}\Vert =\sqrt{|x_1{|}^2+|x_2{|}^2+\cdots +|x_n{|}^2}.$$

条件 (Norm1) 与 (Norm2) 是平凡的，而 (Norm3) 由定理 5.6 推出，因为该范数正是由内积 $⟨x|y⟩={\sum }_{i=1}^n\overline{x_i}{y}_i$ 在式 (5.11) 中所定义的那个范数。若对向量序列 ${\mathbf{x}}_n$ 有 $\Vert {\mathbf{x}}_n-{\mathbf{x}}_m\Vert \to 0$ ，则每个分量都是柯西序列 $|x_{ni}-x_{mi}|\to 0.$ ，因而具有极限 $x_{ni}\to x_i$ 。容易证明 $\Vert {\mathbf{x}}_n-\mathbf{x}\Vert \to 0$ ，其中 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 。因此该赋范向量空间是完备的。

例 10.28

设 $\mathcal{D}([-1,1])$ 为闭区间 $[-1,1]$ 上有界可微复值函数的向量空间。如例 10.26 中那样，我们采用上确界范数 $\Vert f\Vert ={\sup }_{x\in [-1,1]}|f(x)|$。该赋范向量空间不是完备的，考虑函数序列

$$f_n(x)={\left|x\right|}^{1+1/n}(n=1,2,\dots ).$$

这些函数都在 $[-1,1]$ 上可微，并且在 $x=0$ 处从左侧和右侧的导数均为零。由于当 $n\to \infty$ 时它们趋近于有界函数 $|x|$，这必然是一个柯西序列。然而，极限函数 $|x|$ 在 $x=0$ 处不可微，因此该范数是不完备的。

在巴拿赫空间 $V$ 上，线性泛函总是指连续线性映射 $\phi :V\to \mathbb{C}$。$V$ 上所有线性泛函构成的向量空间称为 $V$ 的对偶空间 $V^{\prime }$。若 $V$ 是有限维的，则 $V^{\prime }$ 与 $V^{\ast }$ 重合，因为所有线性泛函关于范数都是连续的。

$$\Vert \mathbf{u}\Vert =\sqrt{|u_1{|}^2+\cdots +|u_n{|}^2},$$

但对于无限维空间，必须明确规定连续性要求。巴拿赫空间上的线性映射 $\phi$ 称为 有界线性泛函(bounded linear functional)，如果存在 $M>0$ 使得

$$|\phi (x)|\le M\Vert x\Vert \text{ for all }x\in V.$$

下述定理表明，对于巴拿赫空间上的线性泛函，“有界”与“连续”这两个词可以互换。

定理 10.23 · 线性泛函的连续性与有界性 (Continuity and boundedness of linear functionals)

巴拿赫空间 $V$ 上的线性泛函 $\phi :V\to \mathbb{R}$ 连续的充要条件是它有界

证明

若 $\phi$ 有界，则令 $M>0$ 使得对所有 $x\in V$ 都有 $|\phi (x)|\le M\Vert x\Vert$。于是对任意一对向量 $x$、$y\in V$

$$|\phi (x-y)|\le M\Vert x-y\Vert ,$$

且对于任意 $ϵ>0$，我们有

$$\Vert x-y\Vert <\frac{ϵ}{M}⟹|\phi (x)-\phi (y)|=|\phi (x-y)|\le ϵ.$$

因此$\phi$是连续的。

反之，假设$\phi$是连续的。特别地，它在原点$x=0$处连续，并且存在$\delta >0$使得

$$\Vert x\Vert <\delta ⟹|\phi (x)|<1.$$

对于任意向量 $y\in V$，我们有

$$\Vert \frac{\delta y}{\Vert y\Vert }\Vert <\delta$$

因此

$$\left|\phi \left(\frac{\delta y}{\Vert y\Vert }\right)\right|<1.$$

因此

$$|\phi (y)|<\frac{\Vert y\Vert }{\delta },$$

表明 $\phi$ 是有界的。

例 10.29

设 ${\ell }^1$ 为所有绝对收敛的复无穷序列 $\mathbf{X}=(x_1,x_2,\dots )$ 构成的向量空间，

$$\Vert \mathbf{x}\Vert =\sum _{i=1}^{\infty }|x_i|<\infty .$$

若 $\mathbf{c}=(c_1,c_2,\dots )$ 是有界复数无穷序列，且对所有 $i=1,2,\dots$ 均有 $|c_i|\le C$，则

$${\phi }_c(\mathbf{x})=c_1{x}_1+c_2{x}_2+\dots$$

是 ${\ell }^1$ 上的连续线性泛函。只要该级数收敛，线性性是显然的，而收敛性与有界性则一并证明，

$$\Vert {\phi }_c(\mathbf{x})\Vert =\sum _{i=1}^{\infty }|c_i{x}_i|\le |C|\sum _{i=1}^{\infty }|x_i|=|C|\Vert \mathbf{x}\Vert <\infty .$$

因此，根据定理10.23，${\phi }_c$是连续线性算符。

习题

习题 10.23

证明性质式 (10.3)–式 (10.7)。

习题 10.24

证明拓扑向量空间之间的线性映射 $T:V\to W$ 在 $V$ 上处处连续，当且仅当它在原点 $0\in V$ 处连续。

习题 10.25

给出一个拓扑向量空间 $V$ 与 $W$ 之间的线性映射 $T:V\to W$ 的例子，它不是连续的。

习题 10.26

证明赋范向量空间关于由范数诱导的度量拓扑构成拓扑向量空间。

习题 10.27

证明：维数为 $\ge 1$ 的实向量空间 $V$ 关于离散拓扑或不可分拓扑均不是拓扑向量空间。

习题 10.28

证明下列均为向量空间 ${\mathbb{R}}^2$ 中的范数：

$$\begin{array}{l}\Vert \mathbf{u}{\Vert }_1=\sqrt{(u_1{)}^2+(u_2{)}^2},\\ \Vert \mathbf{u}{\Vert }_2=\max \{|u_1|,|u_2|\},\\ \Vert \mathbf{u}{\Vert }_3=|u_1|+|u_2|.\end{array}$$

开球 $B_a(\mathbf{u})$ 的形状是什么？证明由这些范数生成的拓扑相同。

习题 10.29

证明：若 $x_n\to x$ 在一个赋范向量空间中，则

$$\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}\to x.$$

习题 10.30

证明：若 $x_n$ 是赋范向量空间 $V$ 中的序列，使得每个子序列都有一个子序列收敛到 $x$，则 $x_n\to x$

习题 10.31

设 $V$ 为巴拿赫空间，$W$ 为 $V.$ 的向量子空间。定义其闭包 $\overline{W}$ 为 $W$ 与 $W$ 中元素的柯西序列的所有极限的并集。证明 $\overline{W}$ 是 $V$ 的闭向量子空间，其含义是 $\overline{W}$ 中所有柯西序列的极限点都落在 $\overline{W}$ 中（注意这些柯西序列可以包含新添加的 $W)$ 的极限点

习题 10.32

证明每个空间 $\mathcal{F}(S)$ 关于例 10.26 的上确界范数都是完备的。由此证明有界无限复序列的向量空间 ${\ell }_{\infty }$ 关于范数 $\Vert \mathbf{x}\Vert =\sup (x_i)$ 是巴拿赫空间。

习题 10.33

证明：由巴拿赫空间 $V$ 上的有界线性泛函组成的集合 $V^{\prime }$，关于范数构成一个赋范向量空间

$$\Vert \phi \Vert =\sup \{M\mid |\phi (x)|\le M\Vert x\Vert \text{ for all }x\in V\}.$$

证明该范数在 $V^{\prime }.$ 上是完备的

习题 10.34

设向量空间 $V$ 上的两个范数 $\Vert u{\Vert }_1$ 与 $\Vert u{\Vert }_2$ 称为 等价范数(equivalent norms)，如果存在常数 $A$ 和 $B$，使得

$$\Vert u{\Vert }_1\le A\Vert u{\Vert }_2\text{ and }\Vert u{\Vert }_2\le B\Vert u{\Vert }_1$$

对于所有 $u\in V$。如果两个范数等价，则证明以下结论：

(a) 若关于一种范数 $u_n\to u$，则关于另一种范数这也成立。

(b) 关于一种范数连续的每个线性泛函，关于另一种范数也连续。

(c) 设 $V=\mathcal{C}[0,1]$ 为区间 [0, 1] 上连续复函数的向量空间。通过考虑函数序列

$$f_n(x)=\frac{n}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-n^2{x}^2}$$

证明这些范数

$$\Vert f{\Vert }_1=\sqrt{{\int }_0^1|f{|}^2\mathrm{d}x}\text{ and }\Vert f{\Vert }_2=\max \{|f(x)|\mid 0\le x\le 1\}$$

并不等价。

(d) 证明由 $F(f)=f(1)$ 定义的线性泛函关于 $\Vert \cdot {\Vert }_2$ 连续，但关于 $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 不连续