微分形式 (differential forms)

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

§30.1 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

拓展 · 微分形式

读者也许已在 ${\mathbb{R}}^n$ 上的微分形式(differential forms)中见过Grassmann代数。物理学家把微分形式称为“反对称张量场”：取外代数 ${\Lambda }^{\ast }({\mathbb{R}}^n)$ 的元素，使系数由常数变为 ${\mathbb{R}}^n$ 上的函数，就得到这一构造。它在流形理论中很重要。流形 $M$ 的点 $x$ 处有切空间 $T_{x}M$ 及其对偶 $(T_{x}M{)}^{\ast }$；局部坐标 $x_j$ 给出 $(T_{x}M{)}^{\ast }$ 的基元素 $d{x}_j$。微分形式在局部可写为以下各项之和：

$$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_j\wedge \cdots \wedge d{x}_k\wedge \cdots \wedge d{x}_l$$

其中 $1\le j<k<l\le n$。

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Digression · Differential forms

Readers may have seen the Grassmann algebra in the context of differential forms on ${\mathbb{R}}^n$. Physicists call these “antisymmetric tensor fields”. They are elements of ${\Lambda }^{\ast }({\mathbb{R}}^n)$ with coefficients that are functions on ${\mathbb{R}}^n$, rather than constants. In manifold theory, a point $x$ of a manifold $M$ has a tangent space $T_{x}M$ and its dual $(T_{x}M{)}^{\ast }$. Local coordinates $x_j$ on $M$ give basis elements $d{x}_j$ of $(T_{x}M{)}^{\ast }$, and differential forms are locally sums of terms of the form

$$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)d{x}_j\wedge \cdots \wedge d{x}_k\wedge \cdots \wedge d{x}_l$$

where $1\le j<k<l\le n$.

来源覆盖、定位与记录

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