完备度量空间 (complete metric space)

按作者与版本查阅

以下按已登记位置排列。出现顺序、原文引用与已登记依赖分别展示；最早位置不代表全书首次定义。

Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e

已登记出处中的最早位置：§10.3 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§10.3	zh-CN · 英文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§10.3 · zh-CN · translation · unreviewed

例 10.11

并非每个柯西序列都必定收敛到 $M$ 中的一点。例如，在具有通常度量拓扑的开区间 (0, 1) 中，序列 $x_n=2^{-n}$ 是柯西序列，但它不收敛到该开区间中的任何点。若每个柯西序列 $x_1,x_2,\dots$ 都收敛到一点 $x\in M$，则称度量空间 $(M,d)$ 为 完备度量空间(complete metric space)。完备性不是拓扑性质。例如，实数直线 $\mathbb{R}$ 是完备度量空间，而柯西序列 $2^{-n}$ 在 $\mathbb{R}$ 中的极限为 0。拓扑空间 $\mathbb{R}$ 与 (0, 1) 是同胚的，所用映射为 $\phi :x\mapsto \tan \frac{1}{2}\pi (2x-1)$。然而，相对于生成其拓扑的度量，一个空间是完备的，而另一个不是。

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• href=“#example-10-11”

来源覆盖、定位与记录

索引保留所有已登记出处，不受模型材料包八小节限额影响。中英上下文按已登记的书、版次与小节配对，不冒充另一语言的概念定义。没有穷尽全书未标记的术语；程序校验不提升原著或译文审阅资格。

登记位置 1；当前可定位出现 1。

永久身份：urn:uuid:31e7202c-8861-477b-9c46-0e0f2c97ff2c。

身份历史 · 结构化来源索引