10.3 度量空间

English

为了推广 $\mathbb{R}$ 和 ${\mathbb{R}}^2$ 中出现的“距离”这一概念，我们定义 度量空间(metric space) [9] 为一个集合 $M$，并带有一个距离函数或 度量(metric) $d:M\times M\to \mathbb{R}$，使得

(Met1) 对所有 $x,y\in M.$ 均有 $d(x,y)\ge 0$

(Met2) $d(x,y)=0$ 当且仅当 $x=y.$

（Met3）$d(x,y)=d(y,x)$

（Met4）$d(x,y)+d(y,z)\ge d(x,z).$

条件 (Met4) 称为 三角不等式(triangle inequality)——三角形 $xyz$ 任意一边的长度小于另外两边之和。对于度量空间 $(M,d)$ 中的每个 $x$ 以及正实数 $a>0$，我们定义开球 $B_a(x)=\{y\mid d(x,y)<a\}$

在$n$维欧几里得空间${\mathbb{R}}^n$中，距离函数由下式给出

$$d(\mathbf{x},\mathbf{y})=|\mathbf{x}-\mathbf{y}|=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2+\cdots +(x_n-y_n{)}^2},$$

但以下内容也可作为可接受的度量：

$$d_1(\mathbf{x},\mathbf{y})=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|+\cdots +|x_n-y_n|,$$ $$d_2(\mathbf{x},\mathbf{y})=\max \left(|x_1-y_1|,|x_2-y_2|,\dots ,|x_n-y_n|\right).$$

随文练习

证明 $d(\mathbf{x},\mathbf{y}),d_1(\mathbf{x},\mathbf{y})$ 与 $d_2(\mathbf{x},\mathbf{y})$ 满足度量公理 (Met1)–(Met4)

随文练习

在 ${\mathbb{R}}^2$ 中，对于度量 $d$、$d_1$ 和 $d_2$，画出开球 $B_1((0,0))$。

若 $(M,d)$ 是一个度量空间，则子集 $U\subset M$ 称为开的，当且仅当对每个 $x\in U$ 都存在一个开球 $B_{ϵ}(x)\subseteq U$。正如对于 ${\mathbb{R}}^2$ 一样，这在 $M$ 上定义了一个自然的拓扑，称为 度量拓扑(metric topology)。该拓扑由所有开球 $B_a(x)\subset M$ 构成的集合生成。其证明密切遵循例 10.8 中的论证。

在度量空间 $(M,d)$ 中，序列 $x_n$ 收敛于点 $x$ 当且仅当 $d(x_n,x)\to 0$ 随 $n\to \infty$ 成立。等价地，$x_n\to x$ 当且仅当对每个 $ϵ>0$，该序列最终进入并停留在开球 $B_{ϵ}(x)$ 中。在度量空间中，序列 $x_n$ 的极限点 $x$ 是唯一的，因为若 $x_n\to x$ 且 $x_n\to y$，则由三角不等式得 $d(x,y)\le d(x,x_n)+d(x_n,y)$。通过选取足够大的 $n$，对任意 $ϵ>0$ 都有 $d(x,y)<ϵ$。因此 $d(x,y)=0$，且由 (Met2) 得 $x=y$。由于这一原因，收敛序列的概念在度量空间中比在一般拓扑空间中更为有用（见问题 10.7）。

在度量空间 $(M,d)$ 中，设 $x_n$ 是一个收敛到某点 $x\in M$ 的序列。那么对每个 $ϵ>0$，存在正整数 $N$，使得对所有 $n,m>N$ 都有 $d(x_n,x_m)<ϵ$。事实上，设 $N$ 是一个整数，使得对所有 $k>N$ 都有 $d(x_k,x)<\frac{1}{2}ϵ$，则

$$d(x_n,x_m)\le d(x_n,x)+d(x,x_m)<ϵ\text{ for all }n,m>N.$$

具有这一性质的序列 $d(x_n,x_m)\to 0$ 当 $n,m\to \infty$ 称为 柯西序列(Cauchy sequence)。

例 10.11

并非每个柯西序列都必定收敛到 $M$ 中的一点。例如，在具有通常度量拓扑的开区间 (0, 1) 中，序列 $x_n=2^{-n}$ 是柯西序列，但它不收敛到该开区间中的任何点。若每个柯西序列 $x_1,x_2,\dots$ 都收敛到一点 $x\in M$，则称度量空间 $(M,d)$ 为 完备度量空间(complete metric space)。完备性不是拓扑性质。例如，实数直线 $\mathbb{R}$ 是完备度量空间，而柯西序列 $2^{-n}$ 在 $\mathbb{R}$ 中的极限为 0。拓扑空间 $\mathbb{R}$ 与 (0, 1) 是同胚的，所用映射为 $\phi :x\mapsto \tan \frac{1}{2}\pi (2x-1)$。然而，相对于生成其拓扑的度量，一个空间是完备的，而另一个不是。

习题

习题 10.9

证明每个度量空间都是第一可数的。由此证明度量空间的每个子集都可表示为可数个开集的交集。

习题 10.10

若 ${\mathcal{U}}_1$ 与 ${\mathcal{U}}_2$ 是集合 $X,$ 的两个子集族，证明：如果 ${\mathcal{U}}_2$ 的每个成员都是 ${\mathcal{U}}_1$ 中若干集合的并集，且反之亦然，则由这两个族生成的拓扑是同胚的。利用这一性质证明：由度量 $d$、$d_1$ 与 $d_2$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 上定义的度量拓扑全都同胚。

习题 10.11

一个拓扑空间 $X$ 称为 正规空间(normal space)，如果对于每一对不相交的闭子集 $A$ 和 $B$，都存在不相交的开集 $U$ 和 $V$，使得 $A\subset U$ 和 $B\subset V$。证明每个度量空间都是正规空间。