Clebsch–Gordan 分解 (Clebsch–Gordan decomposition)

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Woit · 2025-10-20

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定理 9.1（Clebsch–Gordan 分解）

张量积表示分解为不可约表示的直和：

$$\begin{array}{rl}({\pi }_{V^{n_1}\otimes V^{n_2}},V^{n_1}\otimes V^{n_2})\cong & ({\pi }_{n_1+n_2},V^{n_1+n_2})\oplus ({\pi }_{n_1+n_2-2},V^{n_1+n_2-2})\\ & \oplus \cdots \oplus ({\pi }_{|n_1-n_2|},V^{|n_1-n_2|})\end{array}$$

证明

证明这一结果的一种方法是使用最高权理论、升算符与降算符以及 Casimir 算符公式。下一节将用特征标给出一个更简单的论证。这里先概述一种证明思路；更多细节可参见例如 [71] 的第 5.2 节。

设$v_{n_1}\in V_{n_1}$和$v_{n_2}\in V_{n_2}$是两个表示的最高权向量。那么，$v_{n_1}\otimes v_{n_2}$是张量积表示中的最高权向量：它被${\pi }_{n_1+n_2}^{\prime }(S_{+})$湮灭，权为$n_1+n_2$。因此，$({\pi }_{n_1+n_2},V^{n_1+n_2})$会出现在分解中。将${\pi }_{n_1+n_2}^{\prime }(S_{-})$作用于$v_{n_1}\otimes v_{n_2}$，可得到该表示中其余向量的一组基。在权$n_1+n_2-2$处，可以找到另一个与$({\pi }_{n_1+n_2},V^{n_1+n_2})$中的向量正交的最高权向量。对它作用下降算符，就得到$({\pi }_{n_1+n_2-2},V^{n_1+n_2-2})$。同理，在权$n_1+n_2-4$处还能找到另一个正交的最高权向量，并得到另一个表示。如此继续，直到权$|n_1-n_2|$为止。

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Theorem 9.1 (Clebsch–Gordan decomposition)

The tensor-product representation decomposes into irreducibles as

$$\begin{array}{rl}({\pi }_{V^{n_1}\otimes V^{n_2}},V^{n_1}\otimes V^{n_2})\cong & ({\pi }_{n_1+n_2},V^{n_1+n_2})\oplus ({\pi }_{n_1+n_2-2},V^{n_1+n_2-2})\\ & \oplus \cdots \oplus ({\pi }_{|n_1-n_2|},V^{|n_1-n_2|}).\end{array}$$

Proof

One proof uses highest-weight theory, the raising and lowering operators, and the formula for the Casimir operator. The next section gives a simpler argument using characters. Here is an outline; for more detail, see, for example, §5.2 of [71].

Let $v_{n_1}\in V_{n_1}$ and $v_{n_2}\in V_{n_2}$ be highest-weight vectors for the two representations. Then $v_{n_1}\otimes v_{n_2}$ is a highest-weight vector in their tensor-product representation: it is annihilated by ${\pi }_{n_1+n_2}^{\prime }(S_{+})$ and has weight $n_1+n_2$. Thus, $({\pi }_{n_1+n_2},V^{n_1+n_2})$ occurs in the decomposition. Applying ${\pi }_{n_1+n_2}^{\prime }(S_{-})$ to $v_{n_1}\otimes v_{n_2}$ gives a basis for the remaining vectors in this representation. At weight $n_1+n_2-2$, one can find another highest-weight vector, orthogonal to the vectors in $({\pi }_{n_1+n_2},V^{n_1+n_2})$. Applying the lowering operator to it gives $({\pi }_{n_1+n_2-2},V^{n_1+n_2-2})$. Continuing in this way, one finds another orthogonal highest-weight vector at weight $n_1+n_2-4$, and obtains another representation. This process terminates at weight $|n_1-n_2|$.

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

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