9.4 表示的张量积

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李代数表示

给定群a的两个表示，可以定义一个新的表示，即张量积表示，通过：

定义（群的张量积表示）

对于群 $G$ 的表示 $(π_{V}, V)$ 和 $(π_{W}, W)$ ，存在一个张量积表示 $(π_{V \otimes W}, V \otimes$ $W$ ），其定义为
$(π_{V \otimes W} (g)) (v \otimes w) = π_{V} (g) v \otimes π_{W} (g) w$

容易验证 $π_{V \otimes W}$ 是一个同态。

为了看清相应的李代数表示会发生什么，计算（对于李代数中的 $X$ ）

π_{V \otimes W}^{'} (X) (v \otimes w) = \frac{d}{d t} π_{V \otimes W} (e^{tX}) (v \otimes w)_{t = 0} = \frac{d}{d t} (π_{V} (e^{tX}) v \otimes π_{W} (e^{tX}) w)_{t = 0} = ((\frac{d}{d t} π_{V} (e^{tX}) v) \otimes π_{W} (e^{tX}) w)_{t = 0} + (π_{V} (e^{tX}) v \otimes (\frac{d}{d t} π_{W} (e^{tX}) w))_{t = 0} = (π_{V}^{'} (X) v) \otimes w + v \otimes (π_{W}^{'} (X) w)

也可以写作

π_{V \otimes W}^{'} (X) = (π_{V}^{'} (X) \otimes 1_{W}) + (1_{V} \otimes π_{W}^{'} (X))

9.4.1 SU(2) 表示的张量积

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 不可约表示

给定群 $G$ 的两个表示 $(π_{V}, V)$ 和 $(π_{W}, W)$ ，我们可以将每个表示分解为不可约表示。要对这两个表示的张量积做同样的事，我们需要知道如何分解两个不可约表示的张量积。这是一个基本且非平凡的问题，对于 $G = S U (2)$ ，其答案如下：

定理

9.1（Clebsch-Gordan 分解）。

张量积 $(π_{V^{n_{1}} \otimes V^{n_{2}}}, V^{n_{1}} \otimes V^{n_{2}})$ 分解为不可约表示如下

(π_{n_{1} + n_{2}}, V^{n_{1} + n_{2}}) \oplus (π_{n_{1} + n_{2} - 2}, V^{n_{1} + n_{2} - 2}) \oplus \dots \oplus (π_{∣ n_{1} - n_{2} ∣}, V^{∣ n_{1} - n_{2} ∣})

证明

证明这一结果的一种方法是使用最高权理论、升算符与降算符以及卡西米尔算符的公式。我们不打算展示其具体运作细节，而是在下一节给出一个使用特征标的更简单论证。不过，其梗概如下（更多细节可参见例如 [71] 的 5.2 节）：

首先注意到，若 $v_{n_{1}} \in V_{n_{1}}, v_{n_{2}} \in V_{n_{2}}$ 是两个表示的最高权向量，则 $v_{n_{1}} \otimes v_{n_{2}}$ 将是张量积表示 $(i.e.$ 中的最高权向量，被 $π_{n_{1} + n_{2}}^{'} (S_{+}))$ 湮灭，其权为 $n_{1} + n_{2}$ ，因此 $(π_{n_{1} + n_{2}}, V^{n_{1} + n_{2}})$ 会出现在分解中。将 $π_{n_{1} + n_{2}}^{'} (S_{-})$ 作用于 $v_{n_{1}} \otimes v_{n_{2}}$ ，可得到 $(π_{n_{1} + n_{2}}, V^{n_{1} + n_{2}})$ 中其余向量的一个基。然而，在权 $n_{1} + n_{2} - 2$ 处可以找到另一类向量，即与 $(π_{n_{1} + n_{2}}, V^{n_{1} + n_{2}})$ 中向量正交的最高权向量。对其作用下降算符得到 $(π_{n_{1} + n_{2} - 2}, V^{n_{1} + n_{2} - 2})$ 。如前，在权 $n_{1} + n_{2} - 4$ 处又找到一个正交的最高权向量，并得到另一个表示，此过程仅在权 $∣ n_{1} - n_{2} ∣$ 处终止 □

9.4.2 表示的特征标

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处理表示的一个标准工具是给一个表示联系一个称为其特征标的不变量。这将是群上的一个共轭不变函数，只依赖于表示的等价类。给定以非常不同方式构造的两个表示，通常可以通过查看它们的特征标函数是否匹配来检验它们是否同构。识别一个群可能的不可约表示的问题可以通过分析不可约表示可能的特征标函数来处理。我们在这里不会尝试进入特征标的一般理论，而只是看看对于 $G = S U (2)$ 的情形不可约表示的特征标是什么。这些可用于给出 $S U (2)$ 表示的张量积的 Clebsch-Gordan 分解的一个简单论证。为此我们不需要关于特征标与表示的关系的一般定理，而可以直接检验 $S U (2)$ 的不可约表示对应于容易求值的不同特征标函数。

定义（特征标）

群 $G$ 的表示 $(π, V)$ 的特征标是 $G$ 上的函数，由下式给出
$χ_{V} (g) = T r (π (g))$

由于矩阵的迹在共轭下不变， $χ_{V}$ 将是 $G$ 上的一个复值、共轭不变函数。容易验证它将满足这些关系

χ_{V \oplus W} = χ_{V} + χ_{W}, χ_{V \otimes W} = χ_{V} χ_{W}

对于 $G = S U (2)$ 的情形，任何元素都可以共轭到对角矩阵的 $U (1)$ 子群中。已知 $S U (2)$ 的不可约表示 $(π_{n}, V^{n})$ 的权，我们就知道特征标是函数

χ_{V^{n}} ((e^{i θ} 0 0 e^{- i θ})) = e^{in θ} + e^{i (n - 2) θ} + \dots + e^{- i (n - 2) θ} + e^{- in θ} (9.2)

当 $n$ 变大时，这个表达式会变得难以处理，但有定理（Weyl 特征标公式）。

χ_{V^{n}} ((e^{i θ} 0 0 e^{- i θ})) = \frac{e ^{i (n + 1) θ} - e ^{- i (n + 1) θ}}{e ^{i θ} - e ^{- i θ}} = \frac{sin (( n + 1 ) θ )}{sin ( θ )}

证明。只需使用恒等式

(e^{in θ} + e^{i (n - 2) θ} + \dots + e^{- i (n - 2) θ} + e^{- in θ}) (e^{i θ} - e^{- i θ}) = e^{i (n + 1) θ} - e^{- i (n + 1) θ}

以及用于特征标的方程 9.2。

为得到9.1的证明，利用第二因子的Weyl特征标公式计算对角矩阵上张量积的特征标（将次序安排为 $n_{2} > n_{1})$ 1

χ_{V^{n_{1}} \otimes V^{n_{2}}} = χ_{V^{n_{1}}} χ_{V^{n_{2}}} = (e^{i n_{1} θ} + e^{i (n_{1} - 2) θ} + \dots + e^{- i (n_{1} - 2) θ} + e^{- i n_{1} θ}) \frac{e ^{i (n_{2} + 1) θ} - e ^{- i (n_{2} + 1) θ}}{e ^{i θ} - e ^{- i θ}} = \frac{( e ^{i (n_{1} + n_{2} + 1) θ} - e ^{- i (n_{1} + n_{2} + 1) θ} ) + \dots + ( e ^{i (n_{2} - n_{1} + 1) θ} - e ^{- i (n_{2} - n_{1} + 1) θ} )}{e ^{i θ} - e ^{- i θ}} = χ_{V^{n_{1} + n_{2}}} + χ_{V^{n_{1} + n_{2} - 2}} + \dots + χ_{V^{n_{2} - n_{1}}}

$So .$ 当我们将不可约表示张量积分解为不可约表示的直和时，必然出现的正是定理 9.1 中的那些。

9.4.3 一些例子

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 不可约表示 · 对称群

一些说明其工作原理的简单例子是：

• 两个旋量的张量积：

V^{1} \otimes V^{1} = V^{2} \oplus V^{0}

这说明两个旋量表示（各自为二维复维数）的四维复维数张量积分解为不可约表示时，是三维向量表示与一维平凡（标量）表示之和。

使用基 $(0 1), (1 0)$ 于 $V^{1}$ ，张量积 $V^{1} \otimes V^{1}$ 有一个基

(0 1) \otimes (0 1), (0 1) \otimes (1 0), (1 0) \otimes (0 1), (1 0) \otimes (1 0)

向量

\frac{1}{2} ((0 1) \otimes (1 0) - (1 0) \otimes (0 1)) \in V^{1} \otimes V^{1}

显然在 $V^{1} \otimes V^{1}$ 的两个因子的置换下是反对称的。可以通过计算 $S U (2)$ 的作用或其李代数 $su (2)$ 的作用来证明该向量在 $S U (2)$ 下不变。因此，该向量是 $V^{1} \otimes V^{1}$ 分解为不可约分量时分量 $V^{0}$ 的一个基。

另一个分量 $V^{2}$ 是三维的，并且有一个基

(0 1) \otimes (0 1), \frac{1}{2} ((0 1) \otimes (1 0) + (1 0) \otimes (0 1)), (1 0) \otimes (1 0)

这三个向量张成权为 $q = 2, 0, - 2$ 的一维复子空间，属于 $U (1) \subset S U (2)$ 子群。

(e^{i θ} 0 0 e^{- i θ})

它们在 $V^{1} \otimes V^{1}$ 的两个因子的置换下是对称的

我们看到，如果取两个相同的量子系统，其 $H = V^{1} =$ 为 $C^{2}$ ，并由它们构成一个复合系统，那么若它们是玻色子，我们将得到一个三维态空间 $V^{2} = S^{2} (V^{1})$ ，在 $S U (2)$ 下按向量（自旋为一）变换。若它们是费米子，我们将得到一个一维态空间 $\dot{V}^{0} = Λ^{2} (V^{1})$ ，自旋为零（在 $S U (2))$ 下不变）。注意，在第二种情形中，我们自动得到一个纠缠态，即一个不能写成可分解乘积的态。

• 三个或更多旋量的张量积：

V^{1} \otimes V^{1} \otimes V^{1} = (V^{2} \oplus V^{0}) \otimes V^{1} = (V^{2} \otimes V^{1}) \oplus (V^{0} \otimes V^{1}) = V^{3} \oplus V^{1} \oplus V^{1}

这说明三个旋量表示的张量积分解为一个四维（“自旋 $3/2")$ 表示加上两份旋量表示。

这可以通过考虑旋量表示的 $N$ 重张量积 $(V^{1})^{\otimes N}$ 来推广。这将是不可约表示的和，其中包括一个不可约 $V^{N}$ 的副本，从而给出使用齐次多项式构造的替代方案。然而，这样做只是将不可约表示作为更大对象的一个分量，因此需要一种方法来投影出所需的分量。这可以通过对称群 $S_{N}$ 在 $(V^{1})^{\otimes N}$ 上的作用以及对 $S_{N}$ 的不可约表示的理解来实现。这种 $S U (2)$ 的不可约表示与 $S_{N}$ 的不可约表示之间的关系——来自考察这两个群如何作用于 $(V^{1})^{\dot{\otimes} \dot{N}}$ ——被称为“Schur-Weyl 对偶”。这推广到任意 $n,$ 的 $S U (n)$ 情形，其中可以考虑 $S U (n)$ 矩阵在 $C^{n}$ 上的定义表示的 $N$ 重张量积。对于 $S U (n)$ ，这或许提供了该群所有不可约表示的最直接的构造。

来源与版本

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来源版本：2025-10-20

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