伴随矩阵 (adjoint matrix)

别名：adjoint

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已登记出处中的最早位置：§2.3 · zh-CN。

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来源短摘录与定位

§2.3 · zh-CN · translation · unreviewed

例 2.15

复矩阵 $\mathsf{A}$ 的伴随矩阵(adjoint)（共轭转置）定义为 ${\mathsf{A}}^{†}=\overline{{\mathsf{A}}^T}$，分量为 $a_{ij}^{†}=\overline{a_{ji}}$；复数上的横线表示复共轭。若 $n\times n$ 复矩阵 $\mathsf{U}$ 满足

$$\mathsf{U}{\mathsf{U}}^{†}=\mathsf{I},\text{\hspace{1em}(2.12)}$$

则称它为酉矩阵(unitary matrix)。立即可得

$$\det \mathsf{U}\overline{\det \mathsf{U}}=|\det \mathsf{U}{|}^2=1.$$

因而存在实数 $\varphi \in [0,2\pi )$，使 $\det \mathsf{U}=e^{i\varphi }$。所有酉矩阵都非奇异，群性质也容易验证。全体 $n\times n$ 酉矩阵组成$n$ 阶酉群(unitary group)，记作 $U(n)$。其中行列式为 $1$ 的酉矩阵组成$n$ 阶特殊酉群(special unitary group)，记作 $SU(n)$。

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• href=“#example-2-15”

编辑导读与作者比较

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复矩阵的伴随矩阵是先转置、再取复共轭所得的共轭转置：${\mathsf{A}}^{†}=\overline{{\mathsf{A}}^T}$ Szekeres · §2.3

若原矩阵分量为 $a_{ij}$，伴随矩阵相应分量由原矩阵转置位置上的复共轭给出：$a_{ij}^{†}=\overline{a_{ji}}$ Szekeres · §2.3

材料用这一运算定义酉矩阵：$n\times n$ 复矩阵 $\mathsf{U}$ 满足以下关系时为酉矩阵：

$$\mathsf{U}{\mathsf{U}}^{†}=\mathsf{I},\text{\hspace{1em}(2.12)}$$

Szekeres · §2.3

Szekeres · 作者条件与约定

作者在矩阵群一节定义复矩阵的伴随为共轭转置，并以 $\mathsf{U}{\mathsf{U}}^{†}=\mathsf{I}$ 描述酉矩阵。

条件：讨论对象是有限阶复矩阵；定义本身不要求矩阵可逆。酉矩阵条件另要求乘积等于单位矩阵。

记号：矩阵转置记为 ${\mathsf{A}}^T$，复共轭记为横线，伴随记为 ${\mathsf{A}}^{†}$。

Szekeres · §2.3；Szekeres · §2.3

来源覆盖、定位与记录

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