2.3 矩阵群

线性变换

${\mathbb{R}}^n$ 是 $n\times 1$ 实列向量的空间：

$$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right).$$

若映射 $A:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 对任意向量 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^n$ 和实数 $a,b$ 都满足

$$A(a\mathbf{x}+b\mathbf{y})=aA(\mathbf{x})+bA(\mathbf{y}),$$

就称它为线性映射(linear mapping)。写成

$$\mathbf{x}=\sum _{i=1}^n{x}_i{\mathbf{e}}_i,{\mathbf{e}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{e}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\dots ,{\mathbf{e}}_n=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right),$$

则由线性性可得

$$A(\mathbf{x})=\sum _{i=1}^n{x}_{i}A({\mathbf{e}}_i).$$

若令

$$A({\mathbf{e}}_i)=\sum _{j=1}^n{a}_{ji}{\mathbf{e}}_j,$$

则向量的分量按以下公式变换：

$$\mathbf{x}\mapsto {\mathbf{x}}^{\prime }=A(\mathbf{x}),x_i^{\prime }=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j(i=1,\dots ,n).$$

通常把这个映射写为 ${\mathbf{x}}^{\prime }=\mathsf{A}\mathbf{x}$，其中

$$\mathsf{A}=[a_{ij}]=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$$

称为线性映射 $A$ 的矩阵(matrix)，$a_{ij}$ 为其分量。复合变换 $AB$ 的矩阵由矩阵乘法法则给出：

$$(\mathsf{AB}{)}_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}.$$

随文练习

证明上述矩阵乘法公式。

${\mathbb{R}}^n$ 上的线性映射与 $n\times n$ 矩阵本质上是同一个概念，后者主要是前者的一种记号表示。不过，第3章讨论一般向量空间时，就不能自然地作这种等同。为了处理这一问题，后续章节常会采用不同的矩阵分量记号；本章余下部分只讨论特定的向量空间 ${\mathbb{R}}^n$，因此可以采用通常的矩阵记号。

线性变换(linear transformation)是从 ${\mathbb{R}}^n$ 到自身的一一到上的线性映射。它可逆，其矩阵 $\mathsf{A}$ 的行列式非零，即 $\det \mathsf{A}\ne 0$。这样的矩阵称为非奇异矩阵(non-singular matrix)，其逆矩阵为

$$({\mathsf{A}}^{-1}{)}_{ij}=\frac{A_{ji}}{\det \mathsf{A}},$$

其中 $A_{ji}$ 是 $\mathsf{A}$ 的 $(j,i)$ 代数余子式：删去第 $j$ 行和第 $i$ 列所得子矩阵的行列式，再乘以 $(-1{)}^{i+j}$。逆矩阵同时是左逆和右逆：

$$\mathsf{A}{\mathsf{A}}^{-1}={\mathsf{A}}^{-1}\mathsf{A}=\mathsf{I}.\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

这里 $\mathsf{I}$ 是 $n\times n$ 单位矩阵：

$$\mathsf{I}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right).$$

单位矩阵的分量常写成克罗内克符号(Kronecker delta)：

$${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1,& i=j,\\ 0,& i\ne j.\end{array}\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

乘积矩阵的逆满足

$$(\mathsf{AB}{)}^{-1}={\mathsf{B}}^{-1}{\mathsf{A}}^{-1}.\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

矩阵群

全体 $n\times n$ 非奇异实方阵组成一个群，记作 $GL(n,\mathbb{R})$。关键在于行列式的乘积法则：

$$\det (\mathsf{AB})=\det (\mathsf{A})\det (\mathsf{B}).\text{\hspace{1em}(2.5)}$$

封闭性：$\det \mathsf{A}\ne 0$ 和 $\det \mathsf{B}\ne 0$ 蕴含 $\det (\mathsf{AB})\ne 0$。

结合律：$(\mathsf{AB})\mathsf{C}=\mathsf{A}(\mathsf{BC})$ 对所有矩阵都成立，无论它们是否奇异。

恒等元：$n\times n$ 单位矩阵 $\mathsf{I}$ 满足 $\mathsf{IA}=\mathsf{AI}=\mathsf{A}$。

逆元：由式 (2.2)，${\mathsf{A}}^{-1}$ 是 $\mathsf{A}$ 的逆元；式 (2.5) 又保证它非奇异，仍属于 $GL(n,\mathbb{R})$，因为

$$\det {\mathsf{A}}^{-1}=\frac{1}{\det \mathsf{A}}.$$

复数情况也可作类似讨论：全体 $n\times n$ 非奇异复矩阵组成群 $GL(n,\mathbb{C})$。除 $n=1$ 外，这些群均非阿贝尔，因为一般有 $\mathsf{AB}\ne \mathsf{BA}$。它们并称为$n$ 阶一般线性群(general linear group)。以矩阵为元素、矩阵乘法为组成法则的子群统称为矩阵群(matrix group)。

以下例子都采用矩阵乘法，因此结合律自动成立。我们会经常使用矩阵的转置(transpose) ${\mathsf{A}}^T$，它由沿主对角线翻转矩阵得到：

$$({\mathsf{A}}^T{)}_{ij}=a_{ji},\mathsf{A}=[a_{ij}].$$

读者应熟悉以下恒等式，它们可见于 Hildebrand 等标准参考书：

$$(\mathsf{AB}{)}^T={\mathsf{B}}^T{\mathsf{A}}^T,\text{\hspace{1em}(2.6)}$$

$$\det {\mathsf{A}}^T=\det \mathsf{A}.\text{\hspace{1em}(2.7)}$$

若 $\mathsf{A}$ 非奇异，则其转置的逆等于其逆的转置：

$$({\mathsf{A}}^{-1}{)}^T=({\mathsf{A}}^T{)}^{-1}.\text{\hspace{1em}(2.8)}$$

例 2.10

$n$ 阶特殊线性群(special linear group)，又称幺模群(unimodular group)，记作 $SL(n,\mathbb{R})$，由行列式为 $1$ 的 $n\times n$ 实矩阵组成。由式 (2.5)，矩阵乘法的封闭性为

$$\det \mathsf{A}=\det \mathsf{B}=1⟹\det (\mathsf{AB})=\det \mathsf{A}\det \mathsf{B}=1.$$

单位矩阵 $\mathsf{I}$ 属于 $SL(n,\mathbb{R})$，因为 $\det \mathsf{I}=1$；取逆的封闭性由下式给出：

$$\det \mathsf{A}=1⟹\det {\mathsf{A}}^{-1}=\frac{1}{\det \mathsf{A}}=1.$$

例 2.11

若矩阵 $\mathsf{A}$ 的逆等于它的转置，就称它为正交矩阵(orthogonal matrix)：

$$\mathsf{A}{\mathsf{A}}^T={\mathsf{A}}^T\mathsf{A}=\mathsf{I}.\text{\hspace{1em}(2.9)}$$

全体 $n\times n$ 实正交矩阵组成群 $O(n)$，称为$n$ 阶正交群(orthogonal group)。

封闭性：若 $\mathsf{A}$ 和 $\mathsf{B}$ 正交，则

$$(\mathsf{AB})(\mathsf{AB}{)}^T=\mathsf{AB}{\mathsf{B}}^T{\mathsf{A}}^T=\mathsf{AI}{\mathsf{A}}^T=\mathsf{I}.$$

恒等元：单位矩阵显然正交，因为 ${\mathsf{I}}^T\mathsf{I}={\mathsf{I}}^2=\mathsf{I}$。

逆元：由式 (2.8) 和式 (2.4)，

$${\mathsf{A}}^{-1}({\mathsf{A}}^{-1}{)}^T={\mathsf{A}}^{-1}({\mathsf{A}}^T{)}^{-1}=({\mathsf{A}}^T\mathsf{A}{)}^{-1}={\mathsf{I}}^{-1}=\mathsf{I}.$$

所以 ${\mathsf{A}}^{-1}$ 也正交。正交矩阵的行列式总为 $\pm 1$，因为

$$\mathsf{A}{\mathsf{A}}^T=\mathsf{I}⟹\det \mathsf{A}\det {\mathsf{A}}^T=\det \mathsf{I}=1.$$

由式 (2.7)，$(\det \mathsf{A}{)}^2=1$。行列式为 $1$ 的正交矩阵称为正常正交矩阵(proper orthogonal matrix)，行列式为 $-1$ 的称为非正常正交矩阵(improper orthogonal matrix)。前者本身组成群 $SO(n)$，称为正常正交群(proper orthogonal group)，也称$n$ 维旋转群(rotation group)（见第2.7节）。它显然是 $SL(n,\mathbb{R})$ 的子群。

例 2.12

设 $p,q$ 是非负整数，且 $p+q=n$。定义 $n\times n$ 矩阵 ${\mathsf{G}}_p=[g_{ij}]$ 为

$$g_{ij}=\{\begin{array}{ll}1,& i=j\le p,\\ -1,& i=j>p,\\ 0,& i\ne j.\end{array}$$

用 $O(p,q)$ 表示满足下式的实矩阵 $\mathsf{A}$ 的集合：

$${\mathsf{A}}^T{\mathsf{G}}_p\mathsf{A}={\mathsf{G}}_p.\text{\hspace{1em}(2.10)}$$

取行列式得 $\det {\mathsf{A}}^T\det {\mathsf{G}}_p\det \mathsf{A}=\det {\mathsf{G}}_p$。由于 $\det {\mathsf{G}}_p=\pm 1\ne 0$，有 $(\det \mathsf{A}{)}^2=1$，所以 $\det \mathsf{A}=\pm 1$，$\mathsf{A}$ 必非奇异。群性质如下。

封闭性：若 $\mathsf{A},\mathsf{B}$ 都满足式 (2.10)，则

$$(\mathsf{AB}{)}^T{\mathsf{G}}_p(\mathsf{AB})={\mathsf{B}}^T{\mathsf{A}}^T{\mathsf{G}}_p\mathsf{AB}={\mathsf{B}}^T{\mathsf{G}}_p\mathsf{B}={\mathsf{G}}_p.$$

恒等元：$\mathsf{A}=\mathsf{I}$ 显然满足式 (2.10)。

逆元：在式 (2.10) 右乘 ${\mathsf{A}}^{-1}$，左乘 $({\mathsf{A}}^{-1}{)}^T$，由式 (2.8) 得

$${\mathsf{G}}_p=({\mathsf{A}}^{-1}{)}^T{\mathsf{G}}_p{\mathsf{A}}^{-1}.$$

因而 ${\mathsf{A}}^{-1}$ 也满足式 (2.10)，属于 $O(p,q)$。

$O(p,q)$ 称为$(p,q)$ 型伪正交群(pseudo-orthogonal group)。当 $q=0,p=n$ 时，它退化为正交群 $O(n)$。同正交群一样，行列式为 $1$ 的元素组成子群，记作 $SO(p,q)$。

例 2.13

设 $\mathsf{J}$ 为 $2n\times 2n$ 矩阵

$$\mathsf{J}=\left(\begin{array}{cc}\mathsf{O}& \mathsf{I}\\ -\mathsf{I}& \mathsf{O}\end{array}\right),$$

其中 $\mathsf{O}$ 和 $\mathsf{I}$ 分别是 $n\times n$ 零矩阵和单位矩阵。若 $2n\times 2n$ 实矩阵 $\mathsf{A}$ 满足

$${\mathsf{A}}^T\mathsf{JA}=\mathsf{J},\text{\hspace{1em}(2.11)}$$

就称它为辛矩阵(symplectic matrix)。证明这些矩阵组成群的方法与刚才证明 $O(p,q)$ 的方法基本相同。由于 $\det \mathsf{J}=1$，式 (2.11) 立即给出 $\det \mathsf{A}=\pm 1$，因此 $\mathsf{A}$ 非奇异。这一群记作 $Sp(2n)$，称为$2n$ 阶辛群(symplectic group)。

随文练习

证明 $2\times 2$ 辛矩阵恰好是 $2\times 2$ 幺模矩阵。因此在 $2\times 2$ 的情形（本例记号中的 $n=1$），所有辛矩阵的行列式都为 $1$。事实上，任何阶数的辛矩阵都具有行列式 $1$，但证明要复杂一些。

例 2.14

复一般线性群 $GL(n,\mathbb{C})$ 与实数情况的定义完全一样：它由非奇异的 $n\times n$ 复矩阵组成，组成法则是使用复数乘法的矩阵乘法。类似实数情况，定义以下特殊子群：

$SL(n,\mathbb{C})$ 是$n$ 阶复幺模群，由行列式为 $1$ 的 $n\times n$ 复矩阵组成；

$O(n,\mathbb{C})$ 是$n$ 阶复正交群，由满足 ${\mathsf{A}}^T\mathsf{A}=\mathsf{I}$ 的 $n\times n$ 复矩阵组成；

$SO(n,\mathbb{C})$ 是复正常正交群，即上述两群的交。

在复数上，伪正交群并不提供新的群类型，因为它们都同构于 $O(n,\mathbb{C})$，见习题 2.7。

例 2.15

复矩阵 $\mathsf{A}$ 的伴随矩阵(adjoint)（共轭转置）定义为 ${\mathsf{A}}^{†}=\overline{{\mathsf{A}}^T}$，分量为 $a_{ij}^{†}=\overline{a_{ji}}$；复数上的横线表示复共轭。若 $n\times n$ 复矩阵 $\mathsf{U}$ 满足

$$\mathsf{U}{\mathsf{U}}^{†}=\mathsf{I},\text{\hspace{1em}(2.12)}$$

则称它为酉矩阵(unitary matrix)。立即可得

$$\det \mathsf{U}\overline{\det \mathsf{U}}=|\det \mathsf{U}{|}^2=1.$$

因而存在实数 $\varphi \in [0,2\pi )$，使 $\det \mathsf{U}=e^{i\varphi }$。所有酉矩阵都非奇异，群性质也容易验证。全体 $n\times n$ 酉矩阵组成$n$ 阶酉群(unitary group)，记作 $U(n)$。其中行列式为 $1$ 的酉矩阵组成$n$ 阶特殊酉群(special unitary group)，记作 $SU(n)$。

习题

习题 2.6

证明下列各类矩阵在矩阵加法下都组成群，但在矩阵乘法下都不组成群：(i) 实反对称 $n\times n$ 矩阵（${\mathsf{A}}^T=-\mathsf{A}$）；(ii) 迹为零的实 $n\times n$ 矩阵（$\mathrm{tr}\mathsf{A}={\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}=0$）；(iii) 复厄米 $n\times n$ 矩阵（${\mathsf{H}}^{†}=\mathsf{H}$）。

习题 2.7

求一个对角复矩阵 $\mathsf{S}$，使得

$$\mathsf{I}={\mathsf{S}}^T{\mathsf{G}}_p\mathsf{S},$$

其中 ${\mathsf{G}}_p$ 定义见例 2.12。证明：

(a) 每个满足式 (2.10) 的复矩阵 $\mathsf{A}$ 都可写为

$$\mathsf{A}=\mathsf{SB}{\mathsf{S}}^{-1},$$

其中 $\mathsf{B}$ 是复正交矩阵，即 $O(n,\mathbb{C})$ 的元素。

(b) 维数相同的复伪正交群彼此同构：

$$O(p,q,\mathbb{C})\cong O(n,\mathbb{C}),n=p+q.$$

习题 2.8

证明 $SU(2)$ 的每个元素都有下列形式：

$$\mathsf{U}=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),a=\overline{d},b=-\overline{c}.$$