自伴算符的谱定理 (Spectral theorem for self-adjoint operators)

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§13.6 · zh-CN · translation · unreviewed

定理 13.25 · 自伴算符的谱定理 (Spectral theorem for self-adjoint operators)

令 $A$ 是希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 上的自伴算子。存在递增投影算子 $E_{\lambda }(\lambda \in \mathbb{R})$，其中对于 $\lambda \le {\lambda }^{\prime }$，有$E_{\lambda }\le P_{\lambda }$，使得

$$E_{-\infty }=0\text{且}{E}_{\infty }=I$$

使得

$$A={\int }_{-\infty }^{\infty }\lambda \mathrm{d}{E}_{\lambda },$$

其中积分被解释为 勒贝格–斯蒂尔切斯 积分

$$⟨u\mid Au⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }\lambda \mathrm{d}⟨u\mid E_{\lambda }u⟩$$

对全体$u\in D_A$都是适用的

§13.6 · en · original_transcription · unreviewed

Theorem 13.25 · Spectral theorem for self-adjoint operators

Let $A$ be a self-adjoint operator on a Hilbert space $\mathcal{H}$. There exists an increasingfamily ofprojection operators $E_{\lambda }\left(\lambda \in \mathbb{R}\right)$ , with $E_{\lambda }\le P_{{\lambda }^{\prime }}\text{for}\lambda \le {\lambda }^{\prime }$ , such that

$$E_{-\infty }=0\text{and}{E}_{\infty }=I$$

such that

$$A={\int }_{-\infty }^{\infty }\lambda \mathrm{d}{E}_{\lambda },$$

where the integral is interpreted as the Lebesgue–Stieltjes integra

$$⟨u\mid Au⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }\lambda d⟨u\mid E_{\lambda }u⟩$$

valid for all $u\in D_A$

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

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