13.6 无界算符

English

对一个希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 上的线性算符$A$ 而言，若满足如果对于任何 $M>0$ ，存在一个向量 $u$ 使得 $\Vert Au\Vert \ge M\Vert u\Vert$，则算符称为无界的(unbounded)。在整个 $\mathcal{H}$ 上的无界算符中的有趣示例很少 ， 例如自伴算符就根本没有。因此，通常认为无界算子 $A$ 不一定定义在整个 $\mathcal{H}$ 上，而只定义在某个向量子空间 $D_A\subseteq \mathcal{H}$ 称为 $A$ 的定义域(domain)。它的值域(range)定义为映射到的向量集合，$R_A=A\left(D_A\right)$。一般来说，我们会用一对 $\left(A,D_A\right)$，其中 $D_A$ 是 $\mathcal{H}$的向量子空间 且$A:D_A\to R_A\subseteq \mathcal{H}$ 是一个线性映射，来指代一个$\mathcal{H}$ 中的算符。当定义域 $D_A$没有歧义时，我们通常会简单地用算符 $A$来指代。

如果对于每个向量 $u\in \mathcal{H}$ 和任意 $ϵ>0$ ，存在一个向量 $v\in D_A$ 使得 $\Vert u-v\Vert <ϵ$，那我们就称定义域 $D_A$ 是 $\mathcal{H}$ 的稠密的(dense)子空间，算子 $A$ 被称为是稠定的(densely defined)的。

如果两个算符$A$和$B$满足$D_B\subseteq D_A$ 和 ${A|}_{D_B}=B$，我们定义 $A$ 是 $B$ 的一个延拓(extension)，写成 $B\subseteq A$。 $\mathcal{H}$ 中的两个运算符 $\left(A,D_A\right)$ 和 $\left(B,D_B\right)$ 称为相等，当且仅当它们是彼此的延拓。这时它们的定义域相等，$D_A=D_B$，而且对于全体 $u\in D_A$ 有 $Au=Bu$。

对 $\mathcal{H}$ 中的任意两个算符做运算时要多加小心，例如加法 $A+B$ 和乘法 $AB$。前者只存在于定义域$D_{A+B}=D_A\cap D_B$上，后者只存在于集合$B^{-1}\left(R_B\cap D_A\right)$上。因此 $\mathcal{H}$ 中的算符不能形成任何自然的向量空间或代数。

例 13.16

在 $\mathcal{H}={\ell }^2$ 中，令 $A:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ 是由

$$(Ax{)}_n=\frac{1}{n}{x}_n.$$

定义的算符，这个算符是有界的，厄米的，并且有定义域 $D_A=\mathcal{H}$ 因为

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\left|x_n\right|}^2<\infty ⟹\sum _{n=1}^{\infty }{\left|\frac{x_n}{n}\right|}^2<\infty$$

这个算符的值域是

$$R_A=\left\{y|\sum _{n=1}^{\infty }{n}^2|y_n{|}^2<\infty \right\},$$

在 ${\ell }^2$ 中是稠密的 ， 因为每个 $x\in {\ell }^2$ 都可以被任意逼近，例如通过有限和${\sum }_{n=1}^N{x}_n{e}_n$ 其中 $e_n$ 是具有分量${\left(e_n\right)}_m={\delta }_{nm}$的标准基，

在稠密域 $D_{A^{-1}}=R_A$ 上定义的逆算符 $A^{-1}$ 是无界的，因为

$$\Vert A^{-1}{e}_n\Vert =\Vert n{e}_n\Vert =n\to \infty$$

例 13.17

在平方可积函数等价类的希尔伯特空间 $L^2(\mathbb{R})$ 中（见例13.4）， 设$D$为$\mathbb{R}$上具紧支集的$C^{\infty }$函数$\phi$的子空间，其元素记作$\tilde{\phi }$。这本质上是第 12 章中定义的测试函数空间 ${\mathcal{D}}^{\infty }(\mathbb{R})$。参考例 13.5 中的论述表明 $D$ 是 $L^2(\mathbb{R})$ 的稠密子空间。我们定义位置算符(position operator) $Q:D\to D\subset L^2(\mathbb{R})$ 由 $Q\tilde{\phi }=\widetilde{x\phi }$。我们可以更非正式地写成

$$(Q\phi )(x)=x\phi (x)$$

类似地，动量算符(momentum operator) $P:D\to D$ 定义为

$$P\phi (x)=-i\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\phi (x)$$

这两个算符在其定义域上显然都是线性的。

随文练习

证明 $L^2(\mathbb{R})$ 中的位置和动量算符是无界的。

如果 $A$ 是定义在稠密域 $D_A$ 上的有界算符，那么它对整体 $\mathcal{H}$ 都有一个唯一的延拓（见习题 13.30）。我们可假设是在整体 $\mathcal{H}$ 上都有了一个有界算符，当我们提到一个域是 $\mathcal{H}$ 的适当子空间的稠定算符时，我们往往暗指它是一个无界算符。

自伴和对称算符

引理 13.20 · 稠密定义域上的正交判别 (Orthogonality criterion on a dense domain)

$D_A$是一稠密域，$u$是$\mathcal{H}$中的向量，若能使得对任意$v\in D_A$有$⟨u\mid v⟩=0$，那么$u=0$

证明

设 $w$ 为 $\mathcal{H}$ 中的任意向量，且 $ϵ>0$ 。由于 $D_A$ 是稠密的，存在一个向量 $v\in D_A$ 使得 $\Vert w-v\Vert <ϵ$ 。根据柯西–施瓦茨不等式

$$|⟨u|w⟩|=|⟨u|w-v⟩|\le \Vert u\Vert \Vert w-v\Vert <ϵ\Vert u\Vert .$$

由于 $ϵ$ 是任意正数，$⟨u|w⟩=0$ 对所有 $w\in \mathcal{H};$ 成立，因此 $u=0,$

$\left(A,D_A\right)$ 是 $\mathcal{H}$ 中具有稠密域 $D_A$ 的算子，令 $D_{A^{\ast }}$ 定义为

$$u\in D_{A^{\ast }}⟺\exists u^{\ast }\text{使得}⟨u\mid Av⟩=⟨u^{\ast }\mid v⟩,\forall v\in D_A.$$

对于 $u\in D_{A^{\ast }}$ ，可以定义 $A^{\ast }u=u^{\ast }$。这种定义是唯一的，因为如果对任意 $v\in D_A$，都有 $⟨u_1^{\ast }-u_2^{\ast }\mid v⟩=0$ ，那么由引理 13.20 有 $u_1^{\ast }=u_2^{\ast }$ 。算符 $\left(A^{\ast },D_{A^{\ast }}\right)$ 称为 $\left(A,D_A\right)$ 的伴随。

对于任意一个满足$u_n\to u$ 和 $A{u}_n\to v$ 的序列 $u_n\in$ $D_A$，如果有 $u\in D_A$ 且 $Au=v$，则我们称稠定算符 $\left(A,D_A\right)$ 是闭的(closed)。另一种表述是，一个算符是闭的，当且仅当它的图像(graph) $G_A=\{(x,Ax)\mid x\in$ $D_A\}$ 是积集 $\mathcal{H}\times \mathcal{H}$ 的闭子集。封闭性的概念类似于连续性，不同之处在于，对于封闭性，我们必须保证极限 $A{u}_n\to v$ 必须成立；而对于连续性，这一性质可以推导出来。每个连续算符显然都是闭的，但反之未必成立。

定理 13.21 · 稠定算符的伴随是闭算符 (The adjoint of a densely defined operator is closed)

若$A$是稠定算符则其伴随$A^{\ast }$是闭的

证明

设 $y_n$ 为 $D_{A^{\ast }}$ 中任意向量序列，使得 $y_n\to y$ 且 $A^{\ast }{y}_n\to z$。则对所有 $x\in D_A$

$$⟨y|Ax⟩=\underset{n\to \infty }{\lim }⟨y_n|Ax⟩=\underset{n\to \infty }{\lim }⟨A^{\ast }{y}_n|x⟩=⟨z|x⟩.$$

由于 $D_A$ 是稠密定义域，由引理 13.20 可得 $y\in D_A,$ 且 $A^{\ast }y=z$——

例 13.18

令 $\mathcal{H}$ 是具有完备正交基 $e_n$ $(n=0,1,2,\dots )$ 的可分希尔伯特空间。算符 $a$ 和 $a^{\ast }$ 定义为

$$a{e}_n=\sqrt{n}{e}_{n-1},a^{\ast }{e}_n=\sqrt{n+1}{e}_{n+1}.$$

这个算符对一个一般向量 $x={\sum }_{n=0}^{\infty }{x}_n{e}_n$ 的作用（其中 $x_n=⟨x\mid e_n⟩$）是

$$ax=\sum _{n=0}^{\infty }{x}_{n+1}\sqrt{n+1}{e}_n,a^{\ast }x=\sum _{n=1}^{\infty }{x}_{n-1}\sqrt{n}{e}_n$$

算符 $a^{\ast }$ 是 $a$ 的伴随，因为

$$⟨a^{\ast }y\mid x⟩=⟨y\mid ax⟩=\sum _{n=1}^{\infty }\overline{y_n}\sqrt{n+1}{x}_{n+1}$$

并且两个运算符的定义域都是

$$D=D_a=D_{a\ast }=\left\{y|\sum _{n=1}{\left|y_n\right|}^{2}n<\infty \right\}$$

定义域在 $\mathcal{H}$ 中是稠密的（参见例13.16）。在物理学中，$\mathcal{H}$ 是对称福克空间(symmetric Fock space)，而 $e_n$ 表示给定状态下的 $n$ 个相同的粒子（玻色子）， $a^{\ast }$ 和 $a$ 分别被称为产生算符(creation operator)和湮灭算符(annihilation operator)。

随文练习

证明$N=a^{\ast }a$是粒子数算符$N{e}_n=n{e}_n$，对易子是$\left[a,a^{\ast }\right]=a{a}^{\ast }-a^{\ast }a=I$。这些方程生效的定义域是什么？

定理 13.22 · 算符延拓与伴随包含关系 (Operator extensions and reversed inclusion of adjoints)

如果 $\left(A,D_A\right)$ 和 $\left(B,D_B\right)$ 是 $\mathcal{H}$ 中的稠定算符，则有 $A\subseteq$ $B⟹B^{\ast }\subseteq A^{\ast }$。

证明

若 $A\subseteq B$，则对任意向量 $u\in D_A$ 和 $v\in D_{B^{\ast }}$

$$⟨v\mid Au⟩=⟨v\mid Bu⟩=⟨B^{\ast }v\mid u⟩.$$

因此 $v\in D_{A^{\ast }}$，从而 $D_{B^{\ast }}\subseteq D_{A^{\ast }}$ 且

$$⟨v\mid Au⟩=⟨A^{\ast }v\mid u⟩=⟨B^{\ast }v\mid u⟩.$$

由引理 13.20 $A^{\ast }v=B^{\ast }v$，因此 $B^{\ast }\subseteq A^{\ast }$

如果 $A=A^{\ast }$，则称稠密域上的算符 $\left(A,D_A\right)$ 是自伴的(self-adjoint)。这意味着不仅两边的定义域上都有 $Au=A^{\ast }u$，而且两个定义域是相等的，$D_A=D_{A^{\ast }}$ .根据定理 13.21，每个自伴算符都是闭的。这不是将厄米算符概念推广到无界算符的唯一定义。下面的定义也很有用。在 $\mathcal{H}$ 中，如果对任意的 $u,v\in D_A$，都有 $⟨Au\mid v⟩=⟨u\mid Av⟩$ ，则稠定算子 $\left(A,D_A\right)$ 称为对称算符(symmetric operator)。

定理 13.23 · 对称算符与伴随延拓 (Symmetric operators and extension by the adjoint)

在 $\mathcal{H}$ 中的稠密域上的算子 $\left(A,D_A\right)$ 是对称的，当且仅当 $A^{\ast }$ 是 $A$的延拓，$A\subseteq A^{\ast }$

证明

若 $A\subseteq A^{\ast }$，则对所有 $u$，$v\in D_A\subseteq D_{A^{\ast }}$

$$⟨u\mid Av⟩=⟨A^{\ast }u\mid v⟩.$$

此外，由于对所有 $u\in D_A$ 都有 $A^{\ast }u=Au$，我们得到对称性条件 $⟨u\mid Av⟩=$ $⟨Au\mid v⟩$

反之，如果 $A$ 是对称的，那么

$$⟨u\mid Av⟩=⟨Au\mid v⟩\text{ for all }u,v\in D_A.$$

另一方面，伴随矩阵的定义给出

$$⟨u\mid Av⟩=⟨A^{\ast }u\mid v⟩\text{ for all }u\in D_{A^{\ast }},v\in D_A.$$

因此，若 $u\in D_A$，则 $u\in D_A$ 且 $Au=A^{\ast }u$，这两个条件等价于 $A\subseteq A^{\ast }$——

从这个定理可知，每个自伴算子都是对称的，因为

$A=A^{\ast }⟹A\subseteq A^{\ast }$,

随文练习

证明例13.16的算符 $A$ 和 $A^{-1}$ 都是自伴的。

例 13.19

在 例13.17 中，我们定义了具有定义域$D$的位置算符 $(Q,D)$，$\mathbb{R}$ 上具紧支集的 $C^{\infty }$ 函数空间。该算子在 $L^2(\mathbb{R})$ 中是对称的，因为

$$⟨\phi \mid Q\psi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }\overline{\phi (x)}x\psi (x)\mathrm{d}x={\int }_{-\infty }^{\infty }\overline{x\phi (x)}\psi (x)\mathrm{d}x=⟨Q\phi \mid \psi ⟩$$

对于所有函数 $\phi ,\psi \in D$。然而它不是自伴的，因为有许多函数$\phi \notin D$ 存在一个函数${\phi }^{\ast }$，使得对全体 $\psi \in D$，有

$$⟨\phi \mid Q\psi ⟩=⟨{\phi }^{\ast }\mid \psi ⟩$$

例如函数

$$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}1,& -1\le x\le 1\\ 0,& |x|>1\end{array}$$

它不在$D$中，因为这函数不是$C^{\infty }$的，但是

$$⟨\phi \mid Q\psi ⟩=⟨{\phi }^{\ast }\mid \psi ⟩\text{其中}{\phi }^{\ast }(x)=x\phi (x)$$

类似地$\phi =1/\left(1+x^2\right)$ 没有紧支集,但满足相同的方程，因此伴随算符$Q^{\ast }$的定义域$D_{Q^{\ast }}$是要比原来$Q$的定义域$D$大的，于是这算符$(Q,D)$ 不是自伴的

为了纠正这种情况，我们让 $D_Q$ 是函数 $\phi$ 所在 $L^2(\mathbb{R})$的子空间，使得${\phi }^{\prime }=x\phi \in L^2(\mathbb{R})$，也就是

$${\int }_{-\infty }^{\infty }|x\phi (x){|}^2\mathrm{d}x<\infty .$$

函数 $\phi$ 和 ${\phi }^{\prime }$ 总是互相认同的，当然，它们需要几乎处处相等 。算符 $\left(Q,D_Q\right)$ 是对称的，因为

$$⟨\phi \mid Q\psi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }\overline{\phi (x)}x\psi (x)\mathrm{d}x=⟨Q\phi \mid \psi ⟩$$

对于所有 $\phi ,\psi \in D_Q$。域 $D_Q$ 在 $L^2(\mathbb{R})$ 中是稠密的，因为如果 $\phi$ 是任意平方可积函数，则函数序列

$${\phi }_n(x)=\{\begin{array}{ll}\phi (x),& -n\le x\le n\\ 0,& |x|>n\end{array}$$

都属于 $D_Q$ ，而且 ${\phi }_n\to \phi$ 当 $n\to \infty$ ，因为

$${\Vert \phi -{\phi }_n\Vert }^2={\int }_{-\infty }^{-n}|\phi (x){|}^2\mathrm{d}x+{\int }_n^{\infty }|\phi (x){|}^2\mathrm{d}x\to 0.$$

根据定理13.23，$Q^{\ast }$ 是 $Q$ 的延拓，所以算符 $\left(Q,D_Q\right)$ 是对称的。剩下的就是证明$D_{Q^{\ast }}\subseteq D_Q$。定义域 $D_{Q^{\ast }}$ 是函数集 $\phi \in L^2(\mathbb{R})$ 使得存在函数 ${\phi }^{\ast }$ 让

$$⟨\phi \mid Q\psi ⟩=⟨{\phi }^{\ast }\mid \psi ⟩,\forall \psi \in D_Q.$$

函数 ${\phi }^{\ast }$ 有性质

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\left(\overline{x\phi (x)}-\overline{{\phi }^{\ast }}\right)\psi (x)dx=0,\forall \psi \in D_Q.$$

由于 $D_Q$ 是一个稠密域，这只有在 ${\phi }^{\ast }(x)$和$x\phi (x)$ 几乎处处相等时才有可能。由于 ${\phi }^{\ast }\in L^2(\mathbb{R})$ 一定成立，所以 $x\phi (x)\in L^2(\mathbb{R})$，其中 $\phi (x)\in D_Q$。这证明了 $D_{Q^{\ast }}\subseteq D_Q$。因此 $D_{Q^{\ast }}=D_Q$，并且由于 ${\phi }^{\ast }(x)=x\phi (x)$ 几乎处处，我们有 ${\phi }^{\ast }=Q\phi$。因此，位置算子是自伴的，$Q=Q^{\ast }$。

例 13.20

例 13.17 中定义的紧支集的可微函数域 $D$ 上的动量算子是对称的，对于

$$\begin{array}{rl}⟨\phi \mid P\psi ⟩& ={\int }_{-\infty }^{\infty }-i\overline{\phi (x)}\frac{\mathrm{d}\psi }{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x\\ & =[-i\overline{\phi (x)}\psi (x){]}_{-\infty }^{\infty }+{\int }_{-\infty }^{\infty }i\frac{\mathrm{d}\overline{\phi (x)}}{\mathrm{d}x}\psi (x)\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }\overline{i\frac{\mathrm{d}\phi (x)}{\mathrm{d}x}}\psi (x)\mathrm{d}x\\ & =⟨P\phi \mid \psi ⟩\end{array}$$

对于所有 $\phi ,\psi \in D$。同样，不难找到在 $D$ 之外的函数 $\phi$ 满足所有 $\psi$ 的这种关系，所以这个算子不是自伴的。扩展域以使动量算子成为自伴随的比位置算子要复杂得多。我们只给出结果；详细信息可在 $[3,7]$ 中找到。回想一下定理 13.19 的讨论，如果存在可测函数 $\rho$ 在 $\mathbb{R}$ 上，使得

$$\phi (x)=c+{\int }_0^x\rho (x)\mathrm{d}x.$$

然后我们可以设置$D\phi ={\phi }^{\prime }=\rho$。当 $\rho$ 是一个连续函数时，$\phi (x)$ 是可微的，并且 $D\phi =\mathrm{d}\phi (x)/\mathrm{d}x$。令 $D_P$ 由那些绝对连续的函数组成，使得 $\phi$ 和 $D\phi$ 是平方可积的。可以证明 $D_P$ 是 $L^2(\mathbb{R})$ 的稠密向量子空间，并且算子 $\left(P,D_P\right)$ 其中 $P\phi =-iD\phi$ 是例 13.17 中定义的动量算子 $P$ 的自伴扩展。

无界算符的谱

对于厄米算子，自伴算子 $\left(A,D_A\right)$ 的特征值是实数，不同特征值对应的特征向量是正交的。如果$Au=\lambda u$，则$\lambda$ 是实数，因为

$$\lambda =\frac{⟨u\mid Au⟩}{\Vert u{\Vert }^2}=\frac{⟨Au\mid u⟩}{\Vert u{\Vert }^2}=\frac{\overline{⟨u\mid Au⟩}}{\Vert u{\Vert }^2}=\bar{\lambda }.$$

若$Au=\lambda u$ 而且$Av=\mu v$那么

$$0=⟨Au\mid v⟩-⟨u\mid Av⟩=(\lambda -\mu )⟨u\mid v⟩$$

其中$⟨u\mid v⟩=0$ 每当 $\lambda \ne \mu$。

对于每个复数$\lambda$，定义${\Delta }_{\lambda }$ 为预解算符(resolvent operator)$(A-\lambda I{)}^{-1}$的定义域

$${\Delta }_{\lambda }=D_{(A-\lambda l{)}^{-1}}=R_{A-\lambda I.}.$$

算符 $(A-\lambda I{)}^{-1}$ 有良定义的定义域 ${\Delta }_{\lambda }$，前提是 $\lambda$ 不是特征值。因为如果 $\lambda$ 不是特征值，则 $\ker (A-\lambda I)=\{0\}$ 并且对于每个 $y\in R_{A-\lambda I}$ 都存在唯一的 $x\in D_A$ 使得 $y=(A-\lambda I)x$。

随文练习

证明对于所有复数 $\lambda$，算符 $A-\lambda I$ 是闭的。

至于有界算符，如果 ${\Delta }_{\lambda }=\mathcal{H}$，则称复数 $\lambda$ 是 $A$ 的正则值。预解算子 $(A-\lambda I{)}^{-1}$ 从而可以写成有界（连续）算子。非正则值的集合称为 $A$ 的谱

定理 13.24 · 特征值与预解像的稠密性 (Eigenvalues and density of the resolvent range)

$\lambda$ 是自伴算子 $\left(A,D_A\right)$ 的特征值当且仅当预解集 ${\Delta }_{\lambda }$ 不在 $\mathcal{H}$ 中稠密。

证明

若 $Ax=\lambda x$，其中 $x\ne 0$，则

$$0=⟨(A-\lambda I)x|u⟩=⟨x|(A-\lambda I)u⟩$$

对所有的 $u\in D_A$。因此，对所有的 $⟨x\mid v⟩=0$，$v\in {\Delta }_{\lambda }=R_{A-\lambda I}.\mathrm{If}{\Delta }_{\lambda }$ 在 $\mathcal{H}$ 中稠密，那么根据引理 13.20，这只能对 $x=0$ 成立，与假设矛盾。

反之，若${\Delta }_{\lambda }$不是稠密的，则由定理13.8存在一个非零向量$x\in (\overline{{\Delta }_{\lambda }}{)}^{\perp }$。该向量具有性质

$$0=⟨x|(A-\lambda I)u⟩=⟨(A-\lambda I)x|u⟩$$

对于所有 $u\in D_A$。由于 $D_A$ 是稠密定义域，$x$ 必为特征向量，$Ax=\lambda x$

于是我们很自然地将谱分为两部分 ——由特征值组成的点谱，其中预解集 ${\Delta }_{\lambda }$ 在 $\mathcal{H}$ 中不稠密，而连续谱由使得${\Delta }_{\lambda }$非闭的$\lambda$组成。需要注意的是，这两类谱不是互斥的；可能有特征值 $\lambda$，其预解集既不闭也不稠密。谱定理 13.19 将自伴算子推广如下：

定理 13.25 · 自伴算符的谱定理 (Spectral theorem for self-adjoint operators)

令 $A$ 是希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 上的自伴算子。存在递增投影算子 $E_{\lambda }(\lambda \in \mathbb{R})$，其中对于 $\lambda \le {\lambda }^{\prime }$，有$E_{\lambda }\le P_{\lambda }$，使得

$$E_{-\infty }=0\text{且}{E}_{\infty }=I$$

使得

$$A={\int }_{-\infty }^{\infty }\lambda \mathrm{d}{E}_{\lambda },$$

其中积分被解释为 勒贝格–斯蒂尔切斯 积分

$$⟨u\mid Au⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }\lambda \mathrm{d}⟨u\mid E_{\lambda }u⟩$$

对全体$u\in D_A$都是适用的

证明很困难，可以在[7]中找到。它的主要用途是它允许我们为非常广泛的函数类定义自伴算子 $A$ 的函数 $f(A)$。例如，如果 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ 是 勒贝格可积函数，那么我们设

$$f(A)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\lambda )\mathrm{d}{E}_{\lambda }.$$

该式是下式的简写

$$⟨u\mid f(A)v⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\lambda )\mathrm{d}⟨u\mid E_{\lambda }v⟩$$

对于任意向量 $u\in \mathcal{H},v\in D_A$。其中最有用的函数之一是 $f={\mathrm{e}}^{ix}$，引起酉变换

$$U={\mathrm{e}}^{iA}={\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{i\lambda }\mathrm{d}{E}_{\lambda }.$$

酉算子和自伴算子之间的这种关系主要在斯通定理中表达，该定理概括了有限维向量空间的结果，在例 6.12 和问题 6.12 中讨论。

定理 13.26 · 斯通定理 (Stone’s theorem)

希尔伯特空间上的每一个使得$U_t{U}_s=U_{t+s}$的单参数酉变换群$U_t$都可以表示为下列形式

$$U_t={\mathrm{e}}^{iAt}={\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{i\lambda t}\mathrm{d}{E}_{\lambda }.$$

习题

习题 13.29

对于无界算符，证明

(a) $(AB)C=A(BC)$

(b) $(A+B)C=AC+BC.$

(c) $AB+AC\subseteq A(B+C)$。给出一个 $A(B+C)\ne AB+AC$ 的例子

习题 13.30

证明：在 $\mathcal{H}$ 中稠密定义的有界算符 $A$ 有唯一的延拓，成为定义在整个 $\mathcal{H}$ 上的算符 $\hat{A}$。证明 $\Vert \hat{A}\Vert =\Vert A\Vert$

习题 13.31

若 $A$ 是自伴的且 $B$ 是有界算符，证明 $B^{\ast }AB$ 是自伴的。

习题 13.32

证明 $\mathrm{if}(A,D_A)$ 与 $(B,D_B)$ 是 $\mathcal{H}$ 中稠密定义域上的算符，则 $B^{\ast }{A}^{\ast }\subseteq$ $(AB{)}^{\ast }$

习题 13.33

对于无界算符，证明 $A^{\ast }+B^{\ast }\subseteq (A+B{)}^{\ast }$

习题 13.34

$\mathrm{If}(A,D_A)$ 是稠定算符，且 $D_{A^{\ast }}$ 在 $\mathcal{H}$ 中稠密，证明 $A\subseteq A^{\ast \ast }$

习题 13.35

若 $A$ 是对称算符，证明 $A^{\ast }$ 是对称的当且仅当它是自伴的，$A^{\ast }=A^{\ast \ast }$

习题 13.36

若 $A_1,A_2,\dots ,A_n$ 是稠密定义域上的算符，使得

$$\sum _{i=1}^n{A}_i^{\ast }{A}_i=0,$$

证明 $A_1=A_2=\cdots =A_n=0$

习题 13.37

若 $A$ 是自伴算符，证明

$$\Vert (A+iI)u{\Vert }^2=\Vert Au{\Vert }^2+\Vert u{\Vert }^2$$

且算符 $A+iI$ 可逆。证明算符 $U=(A-iI)(A+iI{)}^{-1}$ 是酉算符（称为 $A$ 的 Cayley 变换）。