勒贝格控制收敛定理 (Lebesgue dominated convergence theorem)

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定理 11.11 · 勒贝格控制收敛定理 (Lebesgue dominated convergence theorem)

（勒贝格）设 $(f_n)$ 是定义在测度空间 $(X,\mathcal{M},\mu )$ 上的任意实值可测函数序列，它几乎处处收敛于函数 $f$。若存在正的可积函数 $g:X\to \mathbb{R}$，使得对所有 $n$ 都有 $|f_n|<g$，则

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\int f_{n}d\mu =\int fd\mu .$$

证明

函数 $f$ 是可测的，因为它是可测函数序列的几乎处处极限，并且由于 $|f_n|<g$，所有函数 $f_n$ 和 $f$ 关于测度 $\mu$ 可积。对正可测函数序列 $g_n=$ $2g-|f_n-f|>0$ 应用法图引理 11.10

$$\int \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}(2g-|f_n-f|)\mathrm{d}\mu \le \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}\int (2g-|f_n-f|)\mathrm{d}\mu .$$

由于 $\int g\mathrm{d}\mu <\infty$ 且下极限 $|f_n-f|=\lim |f_n-f|=0$，我们有

$$0\le \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}\int -|f_n-f|\mathrm{d}\mu =-\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\int |f_n-f|\mathrm{d}\mu .$$

由于 $|f_n-f|>0$，这只有在以下情况下才可能

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\int |f_n-f|d\mu =0.$$

因此

$$\left|\int (f_n-f)\mathrm{d}\mu \right|\le \int |f_n-f|\mathrm{d}\mu \to 0,$$

因此 $\int f_n\mathrm{d}\mu \to \int f\mathrm{d}\mu$，如所需。

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