矩映射 (Moment map)

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Woit · 2025-10-20

已登记出处中的最早位置：§15.3 · zh-CN。

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来源短摘录与定位

§15.3 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

定义（矩映射）

给定 $G$ 对相空间 $M$ 的作用，若有李代数同态

$$L⟼{\mu }_L$$

将 $\mathfrak{g}$ 映到 $M$ 上的函数，并满足

$$X_L=X_{{\mu }_L},$$

则称该映射为矩映射。等价地，对于 $M$ 上的函数 $F$，${\mu }_L$ 满足

$$\{{\mu }_L,F\}(m)=-X_{L}F(m)={\frac{d}{dt}F(e^{-tL}\cdot m)|}_{t=0}.\text{\hspace{1em}(15.11)}$$

§15.3 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

Definition (Moment map)

Given an action of $G$ on phase space $M$, a Lie algebra homomorphism

$$L⟼{\mu }_L$$

from $\mathfrak{g}$ to functions on $M$ is called a moment map if

$$X_L=X_{{\mu }_L}.$$

Equivalently, for functions $F$ on $M$, ${\mu }_L$ satisfies

$$\{{\mu }_L,F\}(m)=-X_{L}F(m)={\frac{d}{dt}F(e^{-tL}\cdot m)|}_{t=0}.\text{\hspace{1em}(15.11)}$$

编辑导读与作者比较

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在 Woit 第 15.3 节，矩映射把李代数元素 $L$ 对应到相空间 $M$ 上的函数 ${\mu }_L$；要求该对应是李代数同态，并且函数所生成的哈密顿向量场与群作用给出的向量场一致：

$$X_L=X_{{\mu }_L}$$

Woit · §15.3

本节把这一定义放在“群作用的无穷小向量场可由函数表示”的脉络中，并指出矩映射的函数可在量子化后对应重要可观测量；后者是本节介绍动机的一部分，不是定义条件。 Woit · §15.3

Woit · 作者条件与约定

本节先从群作用导出的向量场转向相空间函数，再给出矩映射定义。写成 $\mu :M\to {\mathfrak{g}}^{\ast }$ 时，$\mu (m)$ 在 $L$ 上的取值就是 ${\mu }_L(m)$；作者随后讨论常数选择、哈密顿群作用以及无法满足同态条件时的反常。

条件：定义要求 $G$ 作用在相空间 $M$ 上，$L\mapsto {\mu }_L$ 是李代数同态，并且 $X_L=X_{{\mu }_L}$。作者还说明，只有当相关 $X_L$ 是哈密顿向量场时，这种表示才可能成立；${\mu }_L$ 的加常数自由度须能选得与同态条件相容。

记号：$G$ 是李群，$\mathfrak{g}$ 是其李代数，$M$ 是相空间，$X_L$ 是群作用诱导的向量场，${\mu }_L$ 是对应的函数。

Woit · §15.3；Woit · §15.3

来源覆盖、定位与记录

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