15.3 群在 M 上的作用与矩映射

15.3 群在 M 上的作用与矩映射

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李代数表示 · 李群 · 群在集合上的作用 · 李括号

我们的根本兴趣在于研究李群作用对物理系统的影响。在经典哈密顿力学中，当李群 $G$ 作用于相空间 $M$ 时，此类作用由其导数刻画，该导数将李代数中的元素映为 $M$ 上的向量场。当这些向量场为哈密顿向量场时，往往可以用方程 15.6 转而将李代数中的元素映为 $M$ 上的函数。这被称为群作用的矩映射，而 $M$ 上的此类函数将为我们理解李群作用对物理系统的影响提供核心工具。随后，量子化将此类函数映为算符，而这些算符将成为量子理论中重要的可观测量。

给定李群 $G$ 在空间 $M$ 上的一个作用，存在一个映射

$$L\in \mathfrak{g}\to X_L$$

从 $g$ 到 $M$ 上的向量场。这将 $L$ 映为向量场 $X_L$，后者通过下式作用于 $M$ 上的函数：

$$X_{L}F(m)=\frac{d}{dt}F(e^{tL}\cdot m{)}_{|t=0}\text{\hspace{1em}(15.10)}$$

然而这个映射并不是同态（对于向量场上的李括号15.1而言），而是反同态。要理解其中的原因，回想一下，当一个群$G$作用在一个空间上时，我们通过下式得到函数$F$在该空间上的一个表示$\pi$：

$$\pi (g)F(m)=F(g^{-1}\cdot m)$$

该表示的导数将是李代数表示

$${\pi }^{\prime }(L)F(m)=\frac{d}{dt}F(e^{-tL}\cdot m{)}_{|t=0}=-X_{L}F(m)$$

因此我们看到，它就是映射

$$L\to {\pi }^{\prime }(L)=-X_L$$

那将是一个同态。

当向量场 $X_L$ 是哈密顿向量场时，我们可以定义：

定义（矩映射）

给定 $G$ 在相空间 $M$ 上的一个作用，一个李代数同态

$$L\to {\mu }_L$$

从 $g$ 到 $M$ 上的函数的映射称为矩映射，如果

$$X_L=X_{{\mu }_L}$$

等价地，对于 $M$ 上的函数 $F$，${\mu }_L$ 满足

$$\{{\mu }_L,F\}(m)=-X_{L}F=\frac{d}{dt}F(e^{-tL}\cdot m{)}_{|t=0}\text{\hspace{1em}(15.11)}$$

这有时被称为a“余矩映射”，而术语“矩映射”则指同一信息的重新包装形式，即该映射

$$\mu :M\to {\mathfrak{g}}^{\ast }$$

其中

$$(\mu (m))(L)={\mu }_L(m)$$

对于陈述15.11，一种传统的物理术语是“函数${\mu }_L$生成对称性$L^{\text{dprime}}$，给出其在函数上的无穷小作用。

仅当 $G$ 对 $M$ 的某些作用量下，$X_L$ 才会是哈密顿向量场，且恒等式 $X_L=X_{{\mu }_L}$ 才可能成立。一个必要条件是 $X_L$ 满足方程 15.7

$$X_L\{g_1,g_2\}=\{X_L{g}_1,g_2\}+\{g_1,X_L{g}_2\}$$

即使存在函数 ${\mu }_L$ 使得 $X_{{\mu }_L}=X_L$，它也仅在相差一个常数的意义下唯一，因为 ${\mu }_L$ 和 ${\mu }_L+C$ 将给出相同的向量场。为得到矩映射，我们需要能够以这样的方式选择这些常数，使得该映射

$$L\to {\mu }_L$$

是从 $g$ 到 $M$ 上函数构成的李代数的一个李代数同态。当这成为可能时，该 $G$-作用称为哈密顿 $G$-作用。当这样的常数选择不可能时，经典相空间上的该 $G$-作用称为具有“反常”。

题外话。对于 $M$ 为一般辛流形的情形，只要有一个李群 $G$ 作用在 $M$ 上并保持辛形式 $\omega$，矩映射仍然可以定义。这种 a $G$ 作用的无穷小条件是（见方程 15.9）

$${\mathcal{L}}_X\omega =0$$

使用公式

$${\mathcal{L}}_X=(d+i_X{)}^2=d{i}_X+i_{X}d$$

对于作用在微分形式上的李导数 $(i_X$ 是与向量场 $X$ 的内积运算，有

$$(d{i}_X+i_{X}d)\omega =0$$

并且由于 $d\omega =0$，我们有

$$d{i}_X\omega =0$$

当 $M$ 是单连通的时，微分为 0 的一次形式 $i_{X\omega }$（称为“闭的”）将是某个函数的微分（并称为 ${}^{\prime \prime }exac{t}^{\prime \prime })$）。因此将存在一个函数 µ 使得

$$i_X\omega (\cdot )=\omega (X,\cdot )=d\mu (\cdot )$$

尽管这样的 a µ 仅在相差一个常数的意义下唯一。

给定一个元素 $L\in \mathfrak{g}.$，a $G$ 在 $M$ 上的作用通过方程 $\mathrm{15.10.}$ 给出一个向量场 $X_L$。当我们能够适当地选择常数并找到满足条件的函数 ${\mu }_L$ 时

$$i_{X_L}\omega (\cdot )=d{\mu }_L(\cdot )$$

使得该映射

$$L\to {\mu }_L$$

将李代数元素映到 $M$ 上的函数（李括号为泊松括号）的映射若是李代数同态，则称为矩映射。等价地，也可以使用

$$\mu :M\to {\mathfrak{g}}^{\ast }$$

通过定义

$$(\mu (m))(L)={\mu }_L(m)$$

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来源版本：2025-10-20

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