参数曲线 (parametrized curve)

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光滑的参数曲线(parametrized curve)是定义在$n$维流形$M$上的可微映射$\gamma :(a,b)M$，其定义域为实轴的开区间$(a,b)\subseteq \mathbb{R}$，值域包含于$M$。若$t=t_0\mathrm{if}\gamma (t_0)=p$，其中$a<t_0<b$，则称该曲线在$p$处经过。注意，参数曲线由映射构成，而非像点$\gamma (t)\in M$。将参数从$t$变为$t^{\prime }=f(t)$，其中$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$是单调可微函数且$a^{\prime }=f(a)<t^{\prime }<b^{\prime }=f(b)$，会将参数曲线变为${\gamma }^{\prime }=\gamma \circ f$，但对$M$中的像点没有影响。给定$p,$处的一个图卡$(U,\varphi ;x^i)$，开集$U$的逆像是一个开子集${\gamma }^{-1}(U)\subseteq \mathbb{R}$。设$(a_1,b_1)$为该集合中包含实数$t_0$的连通分支，使得$p=\gamma (t_0)$。由该图卡诱导的参数曲线$\gamma$的“坐标表示”是光滑曲线$\hat{\gamma }=\varphi \circ \gamma :(a_1,b_1)\to {\mathbb{R}}^n$，由$n$个实值函数$x^i={\gamma }^i(t)$描述，其中${\gamma }^i={\mathsf{pr}}_i\circ \varphi \circ \gamma$。当不存在任何误解的危险时，我们通常将其简写为$x^i=x^i(t)$（见图15.3）。在另一个图卡$(U^{\prime };x^{\prime j})$中，表示该曲线的$n$个函数变为$x^{\prime j}={\gamma }^{\prime j}(t)=x^{\prime j}(\gamma (t))$。假设图卡相容，这些表示曲线的新函数仍然是光滑的，尽管参数范围$(a^{\prime },b^{\prime })$可能发生改变。

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