15.2 可微映射与曲线

English

设 $M$ 是一个维数为 $n$ 的可微流形。 称映射 $f:M\to \mathbb{R}$ 在点 $p\in M$ 处可微，如果对于 $p$ 处的某个坐标卡 $(U,\varphi ;x^i)$，函数 $\hat{f}=f\circ {\varphi }^{-1}:\varphi (U)\to \mathbb{R}$ 在 $\varphi (p)=\mathbf{x}(p)=\left(x^1(p),x^2(p),\dots ,x^n(p)\right)$ 处可微。该定义与 $p,$ 处坐标卡的选择无关，因为若 $(U^{\prime },{\varphi }^{\prime })$ 是第二个与 $(U,\varphi )$ 相容的坐标卡 $a$ $p$， 然后

$${\hat{f}}^{\prime }=f\circ {\varphi }^{-1}=\hat{f}\circ \varphi \circ {\varphi }^{-1}$$

是$C^{\infty }$，因为它是可微函数的可微函数。我们用${\mathcal{F}}_p(M)$表示$M$上所有在$p\in M$处可微的实值函数构成的集合

给定一个开集 $V\subseteq M$，若实值函数 $f:M\to \mathbb{R}$ 在 $V$ 上于每一点 $p\in V$ 处可微，则称其在流形之间可微或光滑。显然，为此定义，该函数只需定义在开子集 $V$ 上。我们将 $M$ 上在开子集 $V$ 上可微的所有实值函数的集合记作 $\mathcal{F}(V)$。由于任意一对可微函数 $f$ 与 $g$ 的和 $f+g$ 与乘积 $fg$ 均为可微函数，故 $\mathcal{F}(V)$ 是一个环。此外，$\mathcal{F}(V)$ 对取线性组合 $f+ag$ 封闭，其中 $a\in \mathbb{R}$，因此它也是一个实向量空间，同时关于函数乘法 $fg$ 构成交换代数。${\mathcal{F}}_p(M)$ 中的所有函数都在点 $p\in M$ 的某个开邻域 $V$ 上可微。

随文练习

证明 ${\mathcal{F}}_p(M)$ 关于函数乘法构成一个实交换代数。

若 $M$ 与 $N$ 均为可微流形，维数分别为 $m$ 与 $n$，则映射 $\alpha :M\to N$ 在 $p\in M$ 处可微，如果对于分别覆盖 $p$ 与 $\alpha (p)$ 的任意一对坐标卡 $(U,\varphi ;x^i)$ ) 与 $(V,\psi ;y^a)$ ，其坐标表示

$$\hat{\alpha }=\psi \circ \alpha \circ {\varphi }^{-1}:\varphi (U)\to \psi (V)$$

在$\varphi (p)$处可微。对于可微实值函数，此定义与图卡的选择无关。映射$\hat{\alpha }$由$n$个可微实值函数表示

$$y^a={\alpha }^a(x^1,x^2,\dots ,x^m)(a=1,2,\dots ,n),$$

其中 ${\alpha }^a={\mathbf{pr}}_a\circ \hat{\alpha }$

一个微分同胚(diffeomorphism)是一个一一映射$\alpha ;M\to N$，且$\alpha$与${\alpha }^{-1}:N\to M$均可微。若存在微分同胚$\alpha :M\to N;$，则称两个流形$M$与$N$微分同胚，记作$M\cong N_{:}$；当然，两个流形的维数必须相等，$m=n$。一个奇特而困难的事实是，存在具有多于一个不等价可微结构的拓扑流形。

光滑的参数曲线(parametrized curve)是定义在$n$维流形$M$上的可微映射$\gamma :(a,b)M$，其定义域为实轴的开区间$(a,b)\subseteq \mathbb{R}$，值域包含于$M$。若$t=t_0\mathrm{if}\gamma (t_0)=p$，其中$a<t_0<b$，则称该曲线在$p$处经过。注意，参数曲线由映射构成，而非像点$\gamma (t)\in M$。将参数从$t$变为$t^{\prime }=f(t)$，其中$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$是单调可微函数且$a^{\prime }=f(a)<t^{\prime }<b^{\prime }=f(b)$，会将参数曲线变为${\gamma }^{\prime }=\gamma \circ f$，但对$M$中的像点没有影响。给定$p,$处的一个图卡$(U,\varphi ;x^i)$，开集$U$的逆像是一个开子集${\gamma }^{-1}(U)\subseteq \mathbb{R}$。设$(a_1,b_1)$为该集合中包含实数$t_0$的连通分支，使得$p=\gamma (t_0)$。由该图卡诱导的参数曲线$\gamma$的“坐标表示”是光滑曲线$\hat{\gamma }=\varphi \circ \gamma :(a_1,b_1)\to {\mathbb{R}}^n$，由$n$个实值函数$x^i={\gamma }^i(t)$描述，其中${\gamma }^i={\mathsf{pr}}_i\circ \varphi \circ \gamma$。当不存在任何误解的危险时，我们通常将其简写为$x^i=x^i(t)$（见图15.3）。在另一个图卡$(U^{\prime };x^{\prime j})$中，表示该曲线的$n$个函数变为$x^{\prime j}={\gamma }^{\prime j}(t)=x^{\prime j}(\gamma (t))$。假设图卡相容，这些表示曲线的新函数仍然是光滑的，尽管参数范围$(a^{\prime },b^{\prime })$可能发生改变。

图 15.3 可微流形上的参数曲线

习题

习题 15.5

设 $R$ 是由 $R$ 连同由图卡 $(\mathbb{R};y=x^3)$ 生成的可微结构构成的流形。证明恒等映射 ${\mathrm{id}}_{\mathbb{R}}:{\mathbb{R}}^{\prime }\to \mathbb{R}$ 是微分同胚，但不是微分同胚。

习题 15.6

证明：实 $m$ $m$ 矩阵的集合 $M(m,n;\mathbb{R})$ 是一个维数为 $mn$ 的流形。证明矩阵乘法映射 $M(m,k;\mathbb{R})\times M(k,n;\mathbb{R})\to M(m,n;\mathbb{R})$ 是可微的。