有界厄米算符的谱定理 (Spectral theorem for bounded Hermitian operators)

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§13.5 · zh-CN · translation · unreviewed

定理 13.19 · 有界厄米算符的谱定理 (Spectral theorem for bounded Hermitian operators)

设 $A$ 是希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 上的厄米算符，谱为 $\Sigma (A)$。根据定理 13.17，$\Sigma (A)$是 $\mathbb{R}$ 的有界闭子集。存在递增的投影算符族 $E_{\lambda }(\lambda \in \mathbb{R})$，其中对于 $\lambda \le {\lambda }^{\prime }$有 $P_{\lambda }\le E_{{\lambda }^{\prime }}$ ，这样一来

$$E_{\lambda }=0\text{当}\lambda <\inf (\Sigma (A))\text{时},E_{\lambda }=I\text{当}\lambda >\sup (\Sigma (A))\text{时}$$

有

$$A={\int }_{-\infty }^{\infty }\lambda \mathrm{d}{E}_{\lambda }.$$

§13.5 · en · original_transcription · unreviewed

Theorem 13.19 · Spectral theorem for bounded Hermitian operators

Let $A$ be a hermitian operator on a Hilbert space $\mathcal{H}$, with spectrum $\Sigma (A)$ By Theorem 13.17 this is a closed bounded subset of $\mathbb{R}$. There exists an increasingfamily ofprojection operators $E_{\lambda }\left(\lambda \in \mathbb{R}\right)$ , with $E_{\lambda }\le P_{{\lambda }^{\prime }}\text{for}\lambda \le {\lambda }^{\prime }$ , such that

$$E_{\lambda }=0\text{for}\lambda <\inf (\Sigma (A)),E_{\lambda }=I\text{for}\lambda >\sup (\Sigma (A))$$

and

$$A={\int }_{-\infty }^{\infty }\lambda \mathrm{d}{E}_{\lambda }.$$

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