13.5 谱理论

English

特征向量

对于有界线性算符$A$ : $\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ 如果存在非零向量 $u\in \mathcal{H}$ 使得

$$Au=\alpha u$$

复数$\alpha$称为其特征值(eigenvalue)，$u$ 称为 $A$ 对应于特征值$\alpha$的特征向量(eigenvector)，这在第四章我们都已经做过了。

定理 13.15 · 厄米算符的特征值与正交性 (Eigenvalues and orthogonality for Hermitian operators)

所有厄米算符的特征值都是实数，对应于不同特征值的特征向量互相正交

证明

如果 $Au=\alpha u$，那么

$$⟨u\mid Au⟩=⟨u\mid \alpha u⟩=\alpha \Vert u{\Vert }^2.$$

由于 $A$ 是厄米的

$$⟨u|Au⟩=⟨Au|u⟩=⟨\alpha u|u⟩=\overline{\alpha }\Vert u{\Vert }^2.$$

对于非零向量$\Vert u\Vert \ne 0$，我们有$\alpha =\overline{\alpha };$特征值$\alpha$是实的。

若 $Av=\beta v$，则

$$⟨u|Av⟩=⟨u|\beta v⟩=\beta ⟨u|v⟩$$

和

$$⟨u\mid Av⟩=⟨Au\mid v⟩=⟨\alpha u\mid v⟩=\overline{\alpha }⟨u\mid v⟩=\alpha ⟨u\mid v⟩.$$

若 $\beta \ne \alpha$，则 $⟨u|v⟩=0$

如果厄米算符的特征向量构成一个完备正交归一集合，则称该厄米算符是完备的。

如果厄米算符的特征向量构成一个完备正交标准集，那么称该算子是完备的

例 13.12

投影算符$P$的特征值总是$0$和$1$，因为

$$Pu=\alpha u⟹P^{2}u=P(\alpha u)=\alpha Pu={\alpha }^{2}u$$

而且因为$P$ 是幂等的

$$P^{2}u=Pu=\alpha u.$$

因此${\alpha }^2=\alpha$, 所以$\alpha =0$ 或$1$ 。如果$P=P_M$ 那么特征值$1$对应的特征向量就是属于子空间$M$的向量，而那些特征值为 0 的就属于它的正交补$M^{\perp }$. 结合定理13.8 和定理13.2, 我们发现每个投影算子都是完备的。

定理 13.16 · 酉算符的特征值与正交性 (Eigenvalues and orthogonality for unitary operators)

酉算子$U$的特征值形式为$\alpha ={\mathrm{e}}^{ia}$，其中 $a$ 是实数，不同特征值对应的特征向量是正交的。

证明

由于 $U$ 是等距同构，如果 $Uu=\alpha u$，其中 $u\ne 0$，那么

$$\Vert u{\Vert }^2=⟨u|u⟩=⟨Uu|Uu⟩=⟨\alpha u|\alpha u⟩=\overline{\alpha }\alpha \Vert u{\Vert }^2.$$

因此 $\overline{\alpha }\alpha =|\alpha {|}^2=1$，且存在实数 $a$ 使得 $\alpha ={\mathrm{e}}^{ia}$

若 $Uu=\alpha u$ 且 $Uv=\beta v$，则

$$⟨u|Uv⟩=\beta uv.$$

但 $U^{\ast }U=I$ 意味着 $u=U^{\ast }Uu=\alpha U^{\ast }u.$，因此

$$U^{\ast }u={\alpha }^{-1}u=\overline{\alpha }u\text{ since }|\alpha {|}^2=1.$$

因此

$$⟨u\mid Uv⟩=⟨U^{\ast }u\mid v⟩=⟨\overline{\alpha }u\mid v⟩=\alpha ⟨u\mid v⟩.$$

因此 $(\alpha -\beta )⟨u\mid v⟩=0.\mathrm{If}\alpha \ne \beta$，于是 $u$ 与 $v$ 正交，$⟨u\mid v⟩=0$

有界算符的谱

在有限维空间的情况下，算子的特征值集合称为它的谱。谱是非空的（见第四章），并且形成了 若尔当标准形的对角元素。然而，在无限维空间中，算子可能根本没有特征值。

例 13.13

在${\ell }^2$中 左平移算符 $S$ 就没有特征值, 因为假设

$$S\left(x_1,x_2,\dots \right)=\left(0,x_1,x_2,\dots \right)=\lambda \left(x_1,x_2,\dots \right).$$

如果 $\lambda \ne 0$ 则 $x_1=0,x_2=0,\dots$，因此 $\lambda$ 不是特征值。但是$\lambda =0$ 也暗示了$x_1=x_2=\cdots =0$，所以这个算子根本没有特征值。

随文练习

证明每个 $\lambda$ 使得 $|\lambda |<1$ 是右平移算子 $S^{\prime }=S^{\ast }$ 的特征值。注意在无限维情况下，$S$ 和其伴随 $S^{\ast }$ 的谱可能是并无直接对应关系

例 13.14

令 $\alpha (x)$ 为测度空间 $X$ 上的有界可积函数，并令 $A_{\alpha }:g\mapsto \alpha g$ 为例 13.9 中定义的乘法算符。这样一来便没有一般的函数 $g\in L^2(X)$ 使得 $\alpha (x)g(x)=\lambda g(x)$ ，除非 $\alpha (x)$ 在非零测度的区间 $E$ 上是常函数 $\lambda$。比方说如果在 $X=[a,b]$ 上有 $\alpha (x)=x$ ，$f(x)$ 是 $A_x$ 的特征向量 当且仅当存在 $\lambda \in \mathbb{C}$ 使得

$$xf(x)=\lambda f(x)$$

在整个 $[a,b]$ 上只有$f(x)=0$才有可能。在量子力学中（见第 14 章），这个问题有时可以通过将特征值方程视为分布方程来解决。因为狄拉克$\delta$函数$\delta \left(x-x_0\right)$作为一个分布特征函数，特征值$\lambda$满足$a<\lambda =x_0<b$，

$$x\delta \left(x-x_0\right)=x_0\delta \left(x-x_0\right)$$

像 13.14 这样的例子引导我们考虑一个算子谱的新定义。由于 $A-\lambda I$ 不是可逆算子，所以每个算符 $A$ 在特征值 $\lambda$ 处都有一个简并性。因为如果 $(A-\lambda I{)}^{-1}$ 存在，则 $Au\ne \lambda u$，这是因为如果 $Au=\lambda u$ 那么

$$u=(A-\lambda I{)}^{-1}(A-\lambda I)u=(A-\lambda I{)}^{-1}\cdot 0=0.$$

所以若 $A-\lambda I$ 是可逆的，我们就称复数 $\lambda$ 是希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 上的有界算子 $A$ 的正则值(regular value)， 此时$(A-\lambda I{)}^{-1}$ 也存在并且有界。 $A$ 的谱(spectrum) $\Sigma (A)$ 定义成 $A$中 的那些不是正则值的$\lambda (\in \mathbb{C})$的集合。如果 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则如上所述，可以验证它在 $A$ 的谱中，反之则不然。这些特征值通常称为点谱(point spectrum)。谱中的其他点称为连续谱(continuous spectrum)。在这种情况下，可以想象$(A-\lambda I{)}^{-1}$存在但无界。更常见的情形是，$(A-\lambda I{)}^{-1}$只存在于 $\mathcal{H}$ 的稠密域上，并且在该域上是无界的。我们将把这个问题留到13.6 节再讨论。

例 13.15

如果 $\alpha (x)=x$ 则 $L^2([0,1])$ 上的乘法算符 $A_{\alpha }$ 具有由区间$[0,1]$上的所有实数$\lambda$组成的谱。如果 $\lambda >1$ 或 $\lambda <0$ 或有非零虚部，则函数 $\beta =x-\lambda$ 显然是可逆的并且在区间 $[0,1]$ 上有界。 因此，所有这些都是乘法算符 $A_x$ 的正则值。实数值 $0\le \lambda \le 1$ 形成 $A_x$ 的谱。在例 13.14 中，这些数字都不是特征值，但它们确实位于 $A_x$ 的谱中，因为函数 $\beta$ 是不可逆的。乘法算符 $A_{\beta }^{-1}$定义在稠密集 $[0,1]-\{\lambda \}$ 上，是无界的。

定理 13.17 · 有界算符谱的界与紧性 (Bounds and compactness of the spectrum of a bounded operator)

$A$是希尔伯特空间 $\mathcal{H}$上的有界算符.

• 每个复数$\lambda \in \Sigma (A)$ 有模长 $|\lambda |\le \Vert A\Vert$

• $A$ 正则值的集合是$\mathbb{C}$中的开集

• $A$ 的谱是$\mathbb{C}$的紧子集

证明

(i) 设 $|\lambda |>\Vert A\Vert$ 。此时算符 $A/\lambda$ 的范数为 $<1$ ，且由定理 13.12 可知，算符 $I-A/\lambda$ 可逆，并且

$$(A-\lambda I{)}^{-1}=-{\lambda }^{-1}{\left(I-\frac{A}{\lambda }\right)}^{-1}=-{\lambda }^{-1}\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\frac{A}{\lambda }\right)}^n.$$

因此$\lambda$是一个正则值。因此谱值必须满足$|\lambda |\le \Vert A\Vert$

(ii) 若${\lambda }_0$是正则值，则对任何其他复数$\lambda$

$$\begin{array}{r}I-(A-{\lambda }_{0}I{)}^{-1}(A-\lambda I)=(A-{\lambda }_{0}I{)}^{-1}((A-{\lambda }_{0}I)-(A-\lambda I))\\ =(A-{\lambda }_{0}I{)}^{-1}(\lambda -{\lambda }_0).\end{array}$$

因此

$$\Vert I-(A-{\lambda }_{0}I{)}^{-1}(A-\lambda I)\Vert =|\lambda -{\lambda }_0|\Vert (A-{\lambda }_{0}I{)}^{-1}\Vert <1$$

如果

$$\left|\lambda -{\lambda }_0\right|<\frac{1}{\Vert {\left(A-{\lambda }_{0}I\right)}^{-1}\Vert }.$$

由定理13.12，对于$\lambda$属于$\lambda$的足够小邻域，算符$I-(I-(A-{\lambda }_{0}I{)}^{-1}(A-\lambda I))=(A-{\lambda }_{0}I{)}^{-1}(A-\lambda I)$可逆。若$B$为其逆元，则

$$B(A-{\lambda }_{0}I{)}^{-1}(A-\lambda )=I$$

且 $A-\lambda I$ 可逆，其逆元为 $B(A-{\lambda }_{0}I{)}^{-1}$。因此正则值构成一个开集。

(iii) 谱 $\Sigma (A)$ 是闭集，因为它是开集（正则值）的补集。由第(i)部分，它是某个有界集 $|\lambda |\le \Vert A\Vert$ 的子集，因此是紧集。 -

厄米算符的谱

厄米算符的谱理论较为复杂，下面仅勾勒证明的主要步骤。

定理 13.18 · 厄米算符的谱为实数 (Reality of the spectrum of a Hermitian operator)

厄米算符$A$的谱 $\Sigma (A)$ 完全由实数组成。

证明

设 $\lambda =a+ib$ 是一个复数，且 $b\ne 0$。那么 $\Vert (A-\lambda I)u{\Vert }^2=$ $\Vert (A-aI)u{\Vert }^2+b^2\Vert u{\Vert }^2$，并且

$$\Vert u\Vert \le \frac{1}{|b|}\Vert (A-\lambda I)u\Vert .\text{\hspace{1em}(13.12)}$$

因此，算符$A-\lambda I$是一对一的，因为如果$(A-\lambda I)u=0$，则$u=0$

集合 $V=\{(A-\lambda I)u\mid u\in \mathcal{H}\}$ 是 $\mathcal{H}$ 的子空间。为证明闭包（向量子空间性质是平凡的），设 $v_n=(A-\lambda I)u_n\to v$ 为 $V$ 中的收敛向量序列。由其为柯西序列这一事实以及不等式 Eq. (13.12)，可推出 $u_n$ 也是柯西序列，其极限为 $u$。由算符 $A-\lambda I$ 的连续性，可推出 $V$ 是闭的，因为

$$(A-\lambda I)u=\underset{n\to \infty }{\lim }(A-\lambda I)u_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n=v.$$

最后，$V=\mathcal{H},$，因为若 $w\in V^{\perp }$，则对所有 $u\in$ $\mathcal{H}.$ 有 $⟨(A-\lambda I)u|w⟩=⟨u|(A-\overline{\lambda }I)w⟩=0$。令 $u=(A-\overline{\lambda }I)w$ 得 $(A-\overline{\lambda }I)w=0$。由于 $A-\overline{\lambda }I$ 是 $\mathtt{one}-\mathtt{to}-\mathtt{one},w=0$，因此 $V^{\perp }=\{0\}$，子空间 $V=\mathcal{H}$，且每个向量 $u\in \mathcal{H}$ 都可写成 $u=(A-\lambda I)v$ 的形式。于是 $A-\lambda I$ 可逆，并且不等式 Eq. (13.12) 可用于证明它有界。-

厄米算符的全谱理论需要我们用谱重构算符。在有限维情况下，谱完全由特征值组成，构成点谱。根据定理 13.15，特征值可以写成非空有序实数集 ${\lambda }_1<{\lambda }_2<\cdots <{\lambda }_k$。对于每个特征值${\lambda }_i$，对应一个特征向量的特征空间$M_i$，不同的空间相互正交。一个标准的归纳论证可以用来证明有限维希尔伯特空间上的每个厄米算子都是完备的，因此特征空间跨越整个希尔伯特空间。对于这些特征空间的投影算子$P_i=P_{M_i}$而言，这一论证可以概括为

$$A={\lambda }_1{P}_1+{\lambda }_2{P}_2+\cdots +{\lambda }_k{P}_k$$

其中

$$P_1+P_2+\cdots +P_k=I,P_i{P}_j=P_j{P}_i={\delta }_{ij}{P}_i.$$

本质上，这是一个熟悉的做法，即厄米矩阵可以通过其特征值沿对角线进行“对角化”。对于任意两个投影算子定义$P_M\le P_N$ 当且仅当$M\subseteq N$，我们可以用递增的投影算符之和$E_i=P_1+P_2+\cdots +P_i$来替换算符$P_i$。这些都是投影算符，可以验证它们是厄米和幂等的，${\left(E_i\right)}^2=E_i$，并且投影到递增的子空间之并 $V_i=L\left(M_1\cup M_2\cup \cdots \cup M_i\right)$上，而且还有当$i<j$时，$V_i\subset V_j$的性质。由于$P_i=E_i-E_{i-1}$，其中 $E_0=0$，我们可以将谱定理写成形式

$$A=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\left(E_i-E_{i-1}\right).$$

对于无限维希尔伯特空间，情况要复杂得多，但可以再次使用投影算子语言来实现。任意维度的全谱定理如下：

定理 13.19 · 有界厄米算符的谱定理 (Spectral theorem for bounded Hermitian operators)

设 $A$ 是希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 上的厄米算符，谱为 $\Sigma (A)$。根据定理 13.17，$\Sigma (A)$是 $\mathbb{R}$ 的有界闭子集。存在递增的投影算符族 $E_{\lambda }(\lambda \in \mathbb{R})$，其中对于 $\lambda \le {\lambda }^{\prime }$有 $P_{\lambda }\le E_{{\lambda }^{\prime }}$ ，这样一来

$$E_{\lambda }=0\text{当}\lambda <\inf (\Sigma (A))\text{时},E_{\lambda }=I\text{当}\lambda >\sup (\Sigma (A))\text{时}$$

有

$$A={\int }_{-\infty }^{\infty }\lambda \mathrm{d}{E}_{\lambda }.$$

这个定理中的积分是在 勒贝格–斯蒂尔切斯 意义上定义的。本质上它意味着如果 $f(x)$ 是一个可测函数，并且 $g(x)$ 的形式是

$$g(x)=c+{\int }_0^{x}h(x)\mathrm{d}x$$

对于某些复常数$c$和可积函数$h(x)$，有

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}(g(x))={\int }_a^{b}f(x)h(x)\mathrm{d}x.$$

这种形式的函数 $g$ 被称为绝对连续的(absolutely continuous)；函数 $h$ 几乎处处都由 $g$ 唯一定义，我们可以把它写成$g$的一种导数$h(x)=g^{\prime }(x)$ 。对于有限维情况，该定理简化为之前的陈述，$E_{\lambda }$ 在每个特征值 ${\lambda }_i$ 处有 $P_i$ 的离散跳跃。这个结果的证明并不容易。有兴趣的读者可参考 $[3,6]$ 进一步了解。

习题

习题 13.24

证明：非零向量 $u$ 是算符 $A$ 的特征向量，当且仅当 $|⟨u|Au⟩|=\Vert Au\Vert \Vert u\Vert$

习题 13.25

对任意投影算符 $P_M$，证明每个值 $\lambda \ne 0$、1 都是正则值，方法是证明 $(P_M-\lambda I)$ 具有有界逆元。

习题 13.26

证明酉算符谱中的每个复数 $\lambda$ 都满足 $|\lambda |=1$

习题 13.27

证明有限维希尔伯特空间上的每个厄米算符 $A$ 都可以写成

$$A=\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{P}_i\text{ where }\sum _{i=1}^k{P}_i=I,P_i{P}_j=P_j{P}_i={\delta }_{ij}{P}_i.$$

习题 13.28

对于希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 上的任意一对厄米算符 $A$ 与 $B$，定义 $A\le B$ 当且仅当对一切 $u\in \mathcal{H}$ 有 $⟨u\mid Au⟩\le ⟨u\mid Bu⟩$。证明这是厄米算符集合上的偏序——尤其注意对称性，即 $A\le B$ 与 $B\le A$ 蕴含 $A=B$

(a) 对于 $L^2(X)$ 上的乘法算符，证明 $A_{\alpha }\le A_{\beta }\mathrm{iff}\alpha (x)\le \beta (x)$ 在 $X.$ 上几乎处处成立

(b) 对于投影算符，证明此处给出的定义归结为正文中给出的定义，$P_M\le P_N\mathrm{iff}M\subseteq N.$