Weyl 特征标公式 (Weyl character formula)

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

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定理（Weyl 特征标公式）

对于$\mathrm{SU}(2)$的不可约表示$({\pi }_n,V^n)$以及下面的对角元素，

$${\chi }_{V^n}\left(\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\theta }& 0\\ 0& e^{-i\theta }\end{array}\right)\right)=\frac{e^{i(n+1)\theta }-e^{-i(n+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}=\frac{\sin ((n+1)\theta )}{\sin \theta }$$

证明

由下列恒等式和方程（9.2）可得此公式：

$$(e^{in\theta }+e^{i(n-2)\theta }+\cdots +e^{-i(n-2)\theta }+e^{-in\theta })(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=e^{i(n+1)\theta }-e^{-i(n+1)\theta }$$

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Theorem (Weyl character formula)

For the irreducible representation $({\pi }_n,V^n)$ of $\mathrm{SU}(2)$ and the diagonal element below,

$${\chi }_{V^n}\left(\left(\begin{array}{cc}{e}^{i\theta }& 0\\ 0& e^{-i\theta }\end{array}\right)\right)=\frac{e^{i(n+1)\theta }-e^{-i(n+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}=\frac{\sin ((n+1)\theta )}{\sin \theta }.$$

Proof

The formula follows from the identity

$$(e^{in\theta }+e^{i(n-2)\theta }+\cdots +e^{-i(n-2)\theta }+e^{-in\theta })(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=e^{i(n+1)\theta }-e^{-i(n+1)\theta },$$

together with equation (9.2).

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• href=“#equation-9-2”

来源覆盖、定位与记录

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