希尔伯特拉格朗日量 (Hilbert Lagrangian)

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已登记出处中的最早位置：§18.10 · zh-CN。

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来源短摘录与定位

§18.10 · zh-CN · translation · unreviewed

爱因斯坦场方程可由变分原理导出，只需将拉格朗日量取为里奇标量，$L=R$。这被称为希尔伯特拉格朗日量(Hilbert Lagrangian)。对于独立变量，既可以取度量张量分量$g_{\mu \nu }$，也可以取其逆张量的分量$g^{\mu \nu }$。我们将采用后者，因为它稍微更为方便（读者可以尝试针对变量${\Phi }_A=g_{\mu \nu }$ 调整随后的分析。我们不能直接使用欧拉–拉格朗日方程 式 (18.113)，因为$R$ 依赖于$g^{\mu \nu }$ 及其一阶和二阶导数。虽然欧拉–拉格朗日分析可以推广到包含依赖于场二阶导数的拉格朗日量（见问题18.32），但这将是一项极其复杂的计算。直接进行，我们有

§18.10 · en · original_transcription · unreviewed

Einstein’s field equations may be derived from a variation principle, by setting the Lagrangian to be the Ricci scalar, $L=R$ . This is known as the Hilbert Lagrangian. For independent variables it is possible to take either the metric tensor components $g_{\mu \nu }$ or those of the inverse tensor $g^{\mu \nu }$ . We will adopt the latter, as it is slightly more convenient (the reader may try to adapt the analysis that follows for the variables ${\Phi }_A=g_{\mu \nu }$ . We cannot use the Euler–Lagrange equations Eq. (18.113) as they stand since $R$ is dependent on $g^{\mu \nu }$ and its first and second derivatives. While the Euler–Lagrange analysis can be extended to include Lagrangians that depend on second derivatives of the fields (see Problem 18.32), this would be a prohibitively complicated calculation. Proceeding directly, we have

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• href=“#equation-18-113”
• href=“#equation-18-113”
• href=“#problem-18-32”

来源覆盖、定位与记录

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