Bargmann–Fock 表示，也称振子表示、全纯表示或 Segal–Shale–Weil 表示 (Bargmann–Fock, oscillator, holomorphic, or Segal–Shale–Weil representation)

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Woit · 2025-10-20

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定义（Bargmann–Fock 表示，也称振子表示、全纯表示或 Segal–Shale–Weil 表示）

Bargmann–Fock 表示取态空间为 $\mathcal{H}=\mathcal{F}$，其中 $\mathcal{F}$ 是定义在 $\mathbb{C}$ 上、范数有限的全纯函数空间（原书此处印作 $\frac{d}{dz}\psi =0$），其内积为

$$⟨{\psi }_1|{\psi }_2⟩=\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{C}}\overline{{\psi }_1(z)}{\psi }_2(z)e^{-|z{|}^2}{d}^{2}z\text{\hspace{1em}(22.4)}$$

其中 $d^{2}z=d\mathrm{Re}(z)d\mathrm{Im}(z)$。空间 $\mathcal{F}$ 有时称为“福克空间”。定义作用在该空间上的两个算符：

$$a=\frac{d}{dz},a^{†}=z$$

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Definition (Bargmann–Fock, oscillator, holomorphic, or Segal–Shale–Weil representation)

The Bargmann–Fock representation takes the state space to be $\mathcal{H}=\mathcal{F}$, where $\mathcal{F}$ is the space of holomorphic functions on $\mathbb{C}$ (satisfying $\frac{d}{dz}\psi =0$) with finite norm for the inner product

$$⟨{\psi }_1|{\psi }_2⟩=\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{C}}\overline{{\psi }_1(z)}{\psi }_2(z)e^{-|z{|}^2}{d}^{2}z\text{\hspace{1em}(22.4)}$$

where $d^{2}z=d\mathrm{Re}(z)d\mathrm{Im}(z)$. The space $\mathcal{F}$ is sometimes called “Fock space”. Define the following operators on this space:

$$a=\frac{d}{dz},a^{†}=z$$

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