22.3 Bargmann-Fock 表示

22.3 Bargmann-Fock 表示

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 伴随算子 · 谱定理

处理算符 a 与 $a^{†}$ 及其对易关系

$$[a,a^{†}]=1$$

这表明，存在一种比我们一直使用的薛定谔表示——即位置空间函数上的算符——更简单的方式来表示这些算符，而斯通-冯·诺依曼定理保证它与薛定谔表示酉等价。这种表示在文献中以许多不同的名称出现，具体取决于上下文，但所有这些名称都指同一种表示：

定义（Bargmann-Fock 表示或振子表示或全纯表示或 Segal-Shale-Weil 表示）

Bargmann-Fock（等）表示通过取状态空间 $\mathcal{H}=\mathcal{F}$ 给出，其中 $\mathcal{F}$ 是全纯函数空间（满足 $C$ 上的 $\begin{array}{r}\frac{d}{d\overline{z}}\psi =0)\end{array}$，且在内积中具有有限范数

$$⟨{\psi }_1|{\psi }_2⟩=\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbf{C}}\overline{{\psi }_1(z)}{\psi }_2(z)e^{-|z{|}^2}{d}^{2}z\text{\hspace{1em}(22.4)}$$

其中 $d^{2}z=dRe(z)dIm(z)$。空间 $\mathcal{F}$ 有时称为“福克空间”。我们定义作用在该空间上的以下两个算符：

$$a=\frac{d}{dz},a^{†}=z$$

由于

$$[a,a^{†}]z^n=\frac{d}{dz}(z{z}^n)-z\frac{d}{dz}{z}^n=(n+1-n)z^n=z^n$$

对易子是多项式上的恒等算符

$$[a,a^{†}]=1$$

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定理

Bargmann-Fock 表示具有以下性质

• 元素

$$\frac{z^n}{\sqrt{n!}}$$

$\mathcal{F}$ 对于 $n=0,1,2,...$ 的范数。是正交归一的。

• 算符 a 和 $a^{†}$ 是关于 $\mathcal{F}$ 上给定内积的伴随。

• 基

$$\frac{z^n}{\sqrt{n!}}$$

$\mathcal{F}forn=0,1,2,...$ 是完备的。

证明。上述命题的证明并不困难，其梗概如下

• 对于正交归一性，可以计算这些积分

$${\int }_{\mathbf{C}}{\overline{z}}^m{z}^n{e}^{-|z{|}^2}{d}^{2}z$$

在极坐标中。

• 为证明$z$与$\frac{d}{dz}$是伴随算符，使用分部积分。

• 为完备性，假设对所有 $n.$ 有 $⟨n|\psi ⟩=0$。将 $|n⟩$ 表示为厄米多项式乘以高斯函数的表达式则意味着

$$\int F(q)e^{-\frac{q^2}{2}}\psi (q)dq=0$$

对于所有多项式 $F(q)$。计算 $\psi (q)e^{-\frac{q^2}{2}}$ 的傅里叶变换得到

$$\int e^{-ikq}{e}^{-\frac{q^2}{2}}\psi (q)dq=\int \sum _{j=0}^{\infty }\frac{(-ikq{)}^j}{j!}{e}^{-\frac{q^2}{2}}\psi (q)dq=0$$

因此 $\psi (q)e^{-\frac{q^2}{2}}$ 的傅里叶变换为 0，所以它本身必须为 0。或者，可以援引自伴算符 $H$ 的谱定理，该定理保证其特征向量构成一个完备正交归一集合。

由于在此表示中，数算符 $N=a^{†}a$ 满足

$$N{z}^n=z\frac{d}{dz}{z}^n=n{z}^n$$

$z$ 中的单项式使数算符和能量算符对角化，因此有

$$\frac{z^n}{\sqrt{n!}}$$

对于能量为 $\begin{array}{r}\hslash \omega (n+\frac{1}{2})\end{array}$ 的归一化能量本征态

注意，这里我们取状态空间 $\mathcal{F}$ 包含态 $|n⟩$ 的无限线性组合，只要 Bargmann-Fock 范数有限。我们有时会希望限制到 $|n⟩$ 的有限线性组合构成的子空间，我们将其记作 ${\mathcal{F}}^{fin}$。这是多项式空间 $\mathbf{C}[\mathbf{z}]$，而 $\mathcal{F}$ 是它在 Bargmann-Fock 范数下的完备化。

上一节：22.2 产生算符与湮灭算符 · 下一节：22.4 通过湮灭算符和产生算符进行的量子化 · English version

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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