富比尼定理 (Fubini’s theorem)

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§11.3 · zh-CN · translation · unreviewed

定理 11.12 · 富比尼定理 (Fubini’s theorem)

（富比尼）若 $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ 是勒贝格可测函数，则对每个 $x\in \mathbb{R}$，函数 $f_x(y)=f(x,y)$ 可测。类似地，对每个 $y\in \mathbb{R}$，函数 $f_y^{\prime }(x)=f(x,y)$ 在 $\mathbb{R}$ 上可测。通常记作

$$\int f(x,y)\mathrm{d}y\equiv \int f_x\mathrm{d}\mu and\int f(x,y)\mathrm{d}x\equiv \int f_y^{\prime }\mathrm{d}\mu .$$

于是

$$\begin{array}{rl}\int \int f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y& \equiv \int f\mathrm{d}{\mu }^2=\int \left(\int f(x,y)\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x\\ & =\int \left(\int f(x,y)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y.\end{array}$$

该结果可推广到任意一对测度空间的乘积。证明可参见例如 [1, 2]。

§11.3 · en · original_transcription · unreviewed

Theorem 11.12 · Fubini’s theorem

(Fubini) If $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ is a Lebesgue measurable function, then for each $x\in \mathbb{R}$ the function $f_x(y)=f(x,y)$ is measurable. Similarly for each $y\in \mathbb{R}$ the function $f_y^{\prime }(x)=f(x,y)$ is measurable on $\mathbb{R}$. It is common to write

$$\int f(x,y)\mathrm{d}y\equiv \int f_x\mathrm{d}\mu and\int f(x,y)\mathrm{d}x\equiv \int f_y^{\prime }\mathrm{d}\mu .$$

Then

$$\begin{array}{rl}\int \int f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y& \equiv \int f\mathrm{d}{\mu }^2=\int \left(\int f(x,y)\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x\\ & =\int \left(\int f(x,y)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y.\end{array}$$

The result generalizes to a product of an arbitrary pair of measure spaces. For a proof see, for example, [1, 2].

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