拓扑子群 (topological subgroup)

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来源短摘录与定位

§10.8 · zh-CN · translation · unreviewed

群 $H$ 的子群 $G$ 连同其相对拓扑称为 $G$ 的 拓扑子群(topological subgroup)。为证明任意子群 $H$ 关于相对拓扑成为拓扑子群，设 $U^{\prime }=H\cap U$，其中 $U$ 是 $G.$ 的任意开子集。由映射 $\varphi$ 的连续性，对任意一对满足 $gh\in U^{\prime }\subset U$ 的点 $g,h\in H$，存在 $G$ 的开集 $A$ 和 $B$，使得 $A\times B\subset {\varphi }^{-1}(U)$。由此推出 $\varphi (A^{\prime }\times B^{\prime })\subset H\cap U$，其中 $A^{\prime }=A\cap H$，$B^{\prime }=B\cap H$，并且 ${\varphi |}_H$ 的连续性是直接的。类似地，逆映射 $\tau$ 限制在 $H$ 上时连续。若 $H$ 是 $G$ 中的闭集，则称其为 $G$ 的 闭子群(closed subgroup)。

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