10.8 拓扑群

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拓扑结构与代数结构有多种有用的结合方式。连接这两类结构的主要要求是，表示复合代数律的函数关于施加在底层集合上的拓扑是连续的。在本节中，我们将群论与拓扑结合起来。

一个 拓扑群(topological group) 是集合 $G$，它既是一个群，又是一个豪斯多夫拓扑空间，使得由 $\psi (g,h)=g{h}^{-1}$ 定义的映射 $\psi :G\times G\to G$ 连续。若底层的拓扑是离散的，则拓扑群 $G$ 称为 离散群(discrete group)。

由 $\varphi (g,h)=gh$ 和 $\tau (g)=g^{-1}$ 定义的映射 $\varphi :G\to G$ 与 $\tau :G\to G$ 都是连续的。因为根据定理 10.3，由 $i(h)={\iota }_e(h)=(e,h)$ 定义的单射 $i:G\to G\times G$ 是连续的。因此，映射 $\tau$ 是连续的，因为它是连续映射的复合，$\tau =\psi \circ i$。由于 $\varphi (g,h)=\psi (g,\tau (h))$），立即推出 $\varphi$ 也是连续映射。

随文练习

证明 $\tau$ 是 $G$ 的同胚。

随文练习

若 $\varphi$ 与 $\tau$ 是连续映射，则证明 $\psi$ 是连续的。

例 10.20

加法群 ${\mathbb{R}}^n$，其中“乘积”为向量加法

$$\varphi (\mathbf{x},\mathbf{y})=(x^1,\dots ,x^n)+(y^1,\dots ,y^n)=(x^1+y^1,\dots ,x^n+y^n)$$

而逆映射为

$$\tau (\mathbf{x})=-\mathbf{x}=(-x^1,\dots ,-x^n),$$

关于 ${\mathbb{R}}^n$ 上的欧几里得拓扑构成一个阿贝尔拓扑群。$n$ 环面 $T^n={\mathbb{R}}^n/{\mathbb{Z}}^n$ 也是一个阿贝尔拓扑群，其中群复合为模 1 加法。

例 10.21

$M_n(\mathbb{R})$ 中的 $n\times n$ 实矩阵集合具有一个拓扑，它与 ${\mathbb{R}}^{n^2}$ 上的欧几里得拓扑同胚。行列式映射 $\det$ : $M_n(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ 显然是连续的，因为 $\det A$ 是 $A$ 的分量的多项式函数。因此，一般线性群 $GL(n,\mathbb{R})$ 是 $M_n(\mathbb{R})$ 的开子集，因为它是开集 $\dot{\mathbb{R}}=\mathbb{R}-\{0\}$ 在行列式映射下的逆像。如果给 $GL(n,\mathbb{R})$ 赋予 $M_n(\mathbb{R})$ 中的诱导相对拓扑，那么映射 $\psi$ 在分量中读作，

$$(\psi (\mathsf{A},\mathsf{B}){)}_{ij}=\sum _{k=1}^n{A}_{ik}(B^{-1}{)}_{kj}.$$

这些函数是连续函数，因为 ${\left(B^{-1}\right)}_{ij}$ 是分量 $B_{ij}$ 的有理多项式函数，且分母 $\det B$ 不为零。

群 $H$ 的子群 $G$ 连同其相对拓扑称为 $G$ 的 拓扑子群(topological subgroup)。为证明任意子群 $H$ 关于相对拓扑成为拓扑子群，设 $U^{\prime }=H\cap U$，其中 $U$ 是 $G.$ 的任意开子集。由映射 $\varphi$ 的连续性，对任意一对满足 $gh\in U^{\prime }\subset U$ 的点 $g,h\in H$，存在 $G$ 的开集 $A$ 和 $B$，使得 $A\times B\subset {\varphi }^{-1}(U)$。由此推出 $\varphi (A^{\prime }\times B^{\prime })\subset H\cap U$，其中 $A^{\prime }=A\cap H$，$B^{\prime }=B\cap H$，并且 ${\varphi |}_H$ 的连续性是直接的。类似地，逆映射 $\tau$ 限制在 $H$ 上时连续。若 $H$ 是 $G$ 中的闭集，则称其为 $G$ 的 闭子群(closed subgroup)。

对每个 $g\in G$，令左平移 $L_g:G\to G$ 为映射

$$L_g(h)\equiv L_{g}h=gh,$$

如例 2.25 中所定义。映射 $L_g$ 是连续的，因为它是两个连续映射的复合，$L_g=\varphi \circ {\iota }_g$，其中 ${\iota }_g:G\to G\times G$ 是单射映射 ${\iota }_g(h)=(g,h)$

（见定理 10.3）。它显然是单射，因为 $gh=g{h}^{\prime }⟹h=g^{-1}g{h}^{\prime }=h^{\prime }$，且其逆元为连续映射 $L_{g^{-}1}$。因此 $L_g$ 是同胚。类似地，由 $R_{g}h=hg$ 定义的每个右平移 $R_g:G\to G$ 都是 $G$ 的同胚，由 $C_{g}h=gh{g}^{-1}=L_h\circ R_{h^{-1}}(g)$ 定义的内自同构 $C_g:G\to G$ 也是如此。

单位元连通分支

若 $G$ 是拓扑群，则我们用 $G_0$ 表示包含恒等元 $e,$ 的连通分支，简称为 单位元分支(component of the identity)。

定理 10.20 · 单位元连通分支是闭正规子群 (The identity component is a closed normal subgroup)

设 $G$ 为一个拓扑群，$G_0$ 为单位元分支。则 $G_0$ 是 $G$ 的闭正规子群。

证明

由定理 10.17，集合 $G_0{g}^{-1}$ 是连通的，因为它是连通集合在右平移 $g^{-1}$ 下的连续像。若 $g\in G_0$，则 $e=g{g}^{-1}\in G_0{g}^{-1}$。因此 $G_0{g}^{-1}$ 是包含单位元 $e,$ 的闭连通子集，故必为 $G_0$ 的子集。于是我们有 $G_0{G}_0^{-1}\subseteq G_0$，这表明 $G_0$ 是 $G$ 的子群。由于它是 $G$ 的连通分支，它是闭集。因此，$G_0$ 是 $G$ 的闭子群。

对任意 $g\in G$，集合 $g{G}_0{g}^{-1}$ 是连通的，因为它是 $G_0$ 在内自同构 $h\mapsto C_g(h)$ 下的像。由于该集合包含单位元 $e,$，我们有 $g{G}_0{g}^{-1}\subseteq G_0.$，并且 $G_0$ 是正规子群。

拓扑空间 $X$ 称为 局部连通(locally connected)，如果 $X$ 的每一点的每个邻域都包含一个连通开邻域。拓扑群 $G$ 是局部连通的，如果它在单位元 $e,$ 处局部连通，因为若 $V$ 是 $e$ 的连通开邻域，则 $gV=L_{g}V$ 是任意选定点 $g\in G$ 的连通开邻域。若 $K$ 是群 $G$ 的任意子集，则称 $G$ 的包含 $K$ 的最小子群为由 $K$ 生成的子群。它是 $G$ 的所有包含 $K$ 的子群的交集。

定理 10.21 · 单位元连通邻域生成单位分支 (Connected identity neighbourhoods generate the identity component)

在任何局部连通群 $G$ 中，单位元分支 $G_0$ 由单位元 $e$ 的任意连通邻域生成。

证明

设 $V$ 为 $e,$ 的任意连通邻域，而 $H$ 为由 $V$ 生成的子群。对任意 $g\in H$，由于 $L_g$ 是同胚，左陪集 $gV=L_{g}V\subset H$ 是 $g$ 的邻域。因此 $H$ 是 $G$ 的开子集。另一方面，若 $H$ 是 $G$ 的开子群，则它也是闭的，因为它是 $G$ 中所有不同于 $H$ 本身的 $H$ 的陪集之并集的补集。于是 $H$ 既开又闭。因此它是单位元的连通分支 $G_0$

设 $H$ 是拓扑群 $G$ 的闭子群，我们可以赋予商空间 $G/H$ 由典范投影映射 $\pi :g\mapsto gH$ 诱导的自然拓扑。这是使 $\pi$ 为连续映射的 $G/H$ 上最细的拓扑。在此拓扑中，一族陪集 $U\subseteq G/H$ 为开集当且仅当它们的并集是 $G$ 的开子集。显然，$\pi$ 关于此拓扑是一个 开映射(open map)，这意味着对于所有开集 $V\subseteq G$，$\pi (V)$ 都是开集。

定理 10.22 · 子群与商空间的连通性判别 (Connectedness from a subgroup and its quotient)

若 $G$ 是拓扑群，且 $H$ 是闭连通子群，使得商空间 $G/H$ 连通，则 $G$ 连通。

证明

假设 $G$ 不连通。于是存在开集 $U$ 和 $V$，使得 $G=U\cup V,$，且 $U\cap V=\varnothing$。由于 $\pi$ 是开映射，集合 $\pi (U)$ 和 $\pi (V)$ 在 $G/H$ 中是开集，并且 $G/H=\pi (U)\cup \pi (V)$。但 $G/H$ 连通，$\pi (U)\cap \pi (V)\ne \varnothing .$，因此存在一个陪集 $gH\in \pi (U)\cap \pi (V)$。作为 $G$ 的子集，该陪集显然同时与 $U$ 和 $V$ 相交，并且 $gH=(gH\cap U)\cup (gH\cap V)$，这与 $gH$ 连通的事实矛盾（因为它是连通集 $H$ 在连续映射 $L_g$ 下的像）。因此 $G$ 连通。

例 10.22

一般线性群 $GL(n,\mathbb{R})$ 不是连通的，因为行列式映射 $\det$ : $GL(n,\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ 的像为 $\dot{\mathbb{R}}=\mathbb{R}-\{0\}$ ，而这是一个不连通集合。单位元 $I$ 的分量 $G_0$ 是行列式为 $>0$ 的 $n\times n$ 矩阵的集合，并且分支群是离散的

$$GL(n,\mathbb{R})/G_0\cong \{1,-1\}=Z_2.$$

然而需注意，复一般线性群 $GL(n,\mathbb{C})$ 是连通的，这可以从任意非奇异复矩阵的若尔当标准形能够连续形变为单位矩阵 $I$ 这一事实推测出来。

特殊正交群 $SO(n)$ 都是连通的。这可以通过对维数 $n$ 的归纳来证明。显然 $SO(1)=\{1\}$ 是连通的。假设 $SO(n)$ 是连通的。第 19 章例 19.10 将证明 $SO(n+1)/SO(n)$ 同胚于 $n$ 维球面 $S^n$。由于这是一个连通集合（见例 10.19），由定理 10.22 可知 $SO(n+1)$ 是连通的。通过归纳可知，对所有 $SO(n)$，$n=1,2,\dots$ 都是连通群。然而正交群 $O(n)$ 不是连通的，其单位元分支为 $SO(n)$，而其余正交矩阵的行列式为 $-1$。

类似地，$SU(1)=\{1\}$ 和 $SU(n+1)/SU(n)\cong S^{2n-1}$，由此可知所有特殊酉群 $SU(n)$ 都是连通的。根据定理 10.22，酉群 $U(n)$ 也全都是连通的，因为 $U(n)/SU(n)=S^1$ 是连通的。

问题

习题 10.22

若 $G_0$ 是局部连通拓扑群 $G$ 的单位元分支，则商群 $G/G_0$ 称为 $G$ 的 分支群(group of components)。证明分支群关于由自然投影映射 $\pi :g\mapsto g{G}_0$ 诱导的拓扑构成一个离散拓扑群