奇异分布 (singular distribution)

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已登记出处中的最早位置：§12.1 · zh-CN。

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来源短摘录与定位

§12.1 · zh-CN · translation · unreviewed

两个几乎处处相等的局部可积函数 $f$ 与 $g$ 给出相同的分布 $T_f=T_g$。反之，若对所有试验函数 $\phi$ 都有 $T_f(\phi )=T_g(\phi )$，则密度函数 $f$ 与 $g$ 几乎处处相等。一个概要证明如下：设 $I^n$ 为闭区间 $I^n=I_1\times I_2\times \cdot \cdot \cdot \times I_n$ 的任意乘积，并选取一个试验函数 $\phi$ 任意接近单位阶梯函数 ${\chi }_{I^n}$。于是 ${\int }_{I^n}(f-g)\mathrm{d}{\mu }^n=0$，而这对所有 $I^n\mathrm{if}f-g$ 都不可能，如果其非零正部分 $(f-g{)}^{+}>0$ 在一个正测度集合上成立。这一论证可以很容易地加以改进，以证明 $f-g=0$ 几乎处处成立。因此，密度 $f$ 由 $T_f$ 唯一确定，至多在一个测度为零的集合上除外。通过将 $f$ 与 $T_f:$ 等同起来，局部可积函数可以被视为分布。然而，并非所有分布都以这种方式产生；具有密度 $T=T_f$ 的分布有时被称为 正则分布(regular distribution)，而那些不对应于任何局部可积函数的分布则称为 奇异分布(singular distribution)。

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