12.1 试验函数与分布

English

试验函数空间

函数 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 的 支集(support) 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中使 $f(\mathbf{x})\ne 0$ 的区域之闭包。若 ${\mathbb{R}}^n$ 上的实值函数 $f$ 的支集为有界闭集，则称该函数具有 紧支集(compact support)； 即， 存在 $R>0$ 使得 $f(x_1,\dots ,x_n)=0\mathrm{for}|\mathbf{x}|\ge R$ 。 称函数 $f$ 为 $C^m$，如果阶为 $m$ 的所有偏导数，

$$D_{\underline{m}}f=\frac{{\partial }^{m}f}{\partial x_1^{m_1},\dots ,\partial x_n^{m_n}},$$

存在且连续，其中 $\underline{m}=(m_1,\dots ,m_n)$ 和 $\begin{array}{r}m=|\underline{m}|\equiv {\sum }_{i=1}^n{m}_i\end{array}$。我们采用约定 $D_{(0,0,\dots ,0)}f=f$。若函数 $f$ 对所有阶 $m=1,2,\dots$ 都是 $C^m$，则称其为 $C^{\infty }$，或 无穷次可微(infinitely differentiable)。我们令 ${\mathcal{D}}^m({\mathbb{R}}^n)$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 上所有具有紧支集的 $C^m$ 函数构成的向量空间，称为 $m$ 阶试验函数空间。

随文练习

证明 ${\mathcal{D}}^m({\mathbb{R}}^n)$ 是一个实向量空间。

无穷次可微试验函数空间 ${\mathcal{D}}^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 通常简记为 $\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$，并称为 试验函数空间(test function space)，

$$\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\mathcal{D}}^m({\mathbb{R}}^n).$$

为了确认该空间非空，考虑由下式定义的函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-1/x}& \text{ if }x>0,\\ 0& \text{ if }x\le 0.\end{array}$$

该函数在一切点均无穷次可微，包括点 $x=0$，在该点处所有左导数与右导数均为零。因此，函数 $\phi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$

$$\phi (x)=f(-(x-a))f(x+a)=\{\begin{array}{ll}\exp \left(\frac{2a}{x^2-a^2}\right)& \text{ if }|x|<a,\\ 0& \text{ if }|x|\ge a,\end{array}$$

处处可微且具有紧支集 $[-a,a]$。在 ${\mathbb{R}}^n$ 中有对应的结论，

$$\phi (\mathbf{x})=\{\begin{array}{ll}\exp \left(\frac{2a}{|\mathbf{x}{|}^2-a^2}\right)& \text{ if }|\mathbf{x}|<a,\\ 0& \text{ if }|\mathbf{x}|\ge a,\end{array}$$

其中

$$|\mathbf{x}|=\sqrt{(x_1{)}^2+(x_2{)}^2+\cdots +(x_n{)}^2}.$$

称函数序列 ${\phi }_n\in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$ 按阶 $m$ 收敛于函数 $\phi \in \mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$，如果函数 ${\phi }_n$ 与 $\phi$ 的支集都包含在一个共同的有界集内，并且

$$D_{\underline{k}}{\phi }_n(\mathbf{x})\to D_{\underline{k}}\phi (\mathbf{x})$$

对所有 $x$ 一致地，对所有阶为 $k=0,1,\dots ,m$ 的 $k$。若我们对所有 $m=0,1,2,...$ 都有阶为 $m$ 的收敛，则我们简单地说 ${\phi }_n$ 收敛到 $\phi ,$，记作 ${\phi }_n\to \phi$

例 12.1

设 $\phi :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 为在 $\mathbb{R}$ 中的 $K$ 上具有紧支集的任意可微函数。函数序列

$${\phi }_n(x)=\frac{1}{n}\phi (x)\sin nx$$

都是可微的，并且具有共同的紧支集 $K$。由于 $|\phi (x)\sin nx|<1$，显然当 $n\to \infty$ 时这些函数一致趋于零函数，但它们的导数

$${\phi }_n^{\prime }(x)=\frac{1}{n}{\phi }^{\prime }(x)\sin nx+\phi (x)\cos nx\nrightarrow 0.$$

这是一个函数序列按0阶收敛于零函数、但不按1阶收敛的例子。

为了在拓扑上定义这种收敛，我们可以按如下方式进行。对每个紧集 $K\subset {\mathbb{R}}^n$，令 ${\mathcal{D}}^m(K)$ 为支集含于 $K$ 内的 $C^m$ 函数空间。如例 10.25 那样，通过定义一个范数，使该空间成为拓扑空间

$$\Vert f{\Vert }_{K,m}=\underset{\mathbf{x}\in K}{\sup }\sum _{|\underline{k}|\le m}\left|D_{\underline{k}}f(\mathbf{x})\right|.$$

在 ${\mathcal{D}}^m({\mathbb{R}}^n)$ 上，我们定义集合 $U$ 为开集，如果对每个 $f\in U$，都存在紧集 $K$ 和实数 $a>0$，使得 $f\in K$ 且

$$\{g\in K\mid \Vert g-f{\Vert }_{K,m}<a\}\subseteq U.$$

由此可知，序列 $f_k\in {\mathcal{D}}^m({\mathbb{R}}^n)$ 以阶 $m$ 收敛于函数 $f\in {\mathcal{D}}^m({\mathbb{R}}^n)$

当且仅当关于此拓扑的 $f_n\to f$。类似的处理给出 $\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$ 上的一个拓扑，导致所有阶的收敛（见问题 12.2）。

分布

在本章中，当我们提到泛函 $S$ 在诸如 $\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$ 这样的空间上的“连续性”时，我们指的是：只要在 $\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$ 上按某种指定意义有 $f_n\to f$，就有 $S(f_n)\to S(f)$。${\mathbb{R}}^n$ 上的一个 有限阶分布(distribution of order)（阶为 $m$） 是 $\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$ 上的线性泛函 $T$，

$$T(a\phi +b\psi )=aT(\phi )+bT(\psi ),$$

其连续到 $m$ 阶；也就是说，若 ${\phi }_k\to \phi$ 是 $\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$ 中任一按 $m$ 阶收敛的函数序列，则 $T({\phi }_k)\to T(\phi )$ 。$\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$ 上关于 $\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$ 中按所有阶收敛的序列 ${\phi }_i$ 连续的线性泛函 $T$ ，将简称为 ${\mathbb{R}}^n$ 上的 分布(distribution) 。在这种连续性意义下，${\mathbb{R}}^n$ 上 $m$ 阶分布的空间是 ${\mathcal{D}}^m({\mathbb{R}}^n)$ 的对偶空间（见 10.9 节），而分布的空间是 $\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$ 的对偶空间。因此，它们分别记作 ${\mathcal{D}}^{\prime m}({\mathbb{R}}^n)$ ）和 ${\mathcal{D}}^{\prime }({\mathbb{R}}^n)$ 。

注意，阶为 $m$ 的分布 $T$ 对于所有 $m^{\prime }>m$ 也是阶为 $m^{\prime }$ 的分布。因为，若 ${\phi }_i$ 是 ${\mathcal{D}}^{m^{\prime }}({\mathbb{R}}^n)$ 中的收敛函数序列，则 ${\phi }_i$ 及其直到 $m^{\prime }$ 阶的所有导数都一致收敛到一个函数 $\phi \in {\mathcal{D}}^{m^{\prime }}({\mathbb{R}}^n)$）。特别地，它也是 ${\mathcal{D}}^m({\mathbb{R}}^n)$ 中按 $m<m^{\prime }$ 阶收敛到 $\phi$ 的序列。因此，一个阶为 $m$ 的线性泛函 $T$，若对 ${\mathcal{D}}^m({\mathbb{R}}^n)$ 中的所有收敛序列 ${\phi }_i$ 具有性质 $T({\phi }_i)\to T(\phi )$，则自动对 ${\mathcal{D}}^{m^{\prime }}({\mathbb{R}}^n)$ 中的所有收敛序列也具有此性质。这是对偶空间的一个奇特特征：给定一个 $C^m$ 的函数，我们只能断定它是 $m^{\prime }\le m$ 的 $C^{m^{\prime }}$，然而给定一个阶为 $m$ 的分布，我们便可保证它对所有 $m^{\prime }\ge m$ 都是阶为 $m^{\prime }$ 的分布。

正则分布

称函数 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 为 局部可积(locally integrable)，若它在每个紧子集 $K\subset {\mathbb{R}}^n$ 上可积。令 $T_f:\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)\to \mathbb{R}$ 为由下式定义的连续线性泛函

$$T_f(\phi )={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\phi f\mathrm{d}{\mu }^n={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\cdots {\int }_{{\mathbb{R}}^n}\phi (\mathbf{x})f(\mathbf{x})\mathrm{d}{x}_1\dots \mathrm{d}{x}_n.$$

该积分总是存在，因为每个试验函数 $\phi$ 都在某个紧集之外为零。由积分算符的基本性质可直接得到线性性，

$$T_f(a\phi +b\psi )=a{T}_f(\phi )+b{T}_f(\psi ).$$

$T_f$ 的连续性由不等式 (11.11) 和勒贝格控制收敛定理 11.11 推出，

$$\begin{array}{l}|T_f({\phi }_i)-T_f(\phi )|=|{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\cdots \int f(\mathbf{x})({\phi }_i(\mathbf{x})-\phi (\mathbf{x})){\mathrm{d}}^{n}x|\\ \le {\int }_{{\mathbb{R}}^n}\cdots \int |f(\mathbf{x})({\phi }_i(\mathbf{x})-\phi (\mathbf{x}))|{\mathrm{d}}^{n}x\\ \le {\int }_{{\mathbb{R}}^n}\cdots \int |f(\mathbf{x})||({\phi }_i(\mathbf{x})-\phi (\mathbf{x}))|{\mathrm{d}}^{n}x\\ \to 0,\end{array}$$

由于可积函数序列 $f{\phi }_i$ 被可积函数 $\left({\sup }_i|{\phi }_i|\right)|f|$ 控制。因此 $T_f$ 是一个分布，而函数 $f$ 称为其 密度(density)。事实上，$T_f$ 是一个零阶分布，因为其定义中只需要零阶收敛。

两个几乎处处相等的局部可积函数 $f$ 与 $g$ 给出相同的分布 $T_f=T_g$。反之，若对所有试验函数 $\phi$ 都有 $T_f(\phi )=T_g(\phi )$，则密度函数 $f$ 与 $g$ 几乎处处相等。一个概要证明如下：设 $I^n$ 为闭区间 $I^n=I_1\times I_2\times \cdot \cdot \cdot \times I_n$ 的任意乘积，并选取一个试验函数 $\phi$ 任意接近单位阶梯函数 ${\chi }_{I^n}$。于是 ${\int }_{I^n}(f-g)\mathrm{d}{\mu }^n=0$，而这对所有 $I^n\mathrm{if}f-g$ 都不可能，如果其非零正部分 $(f-g{)}^{+}>0$ 在一个正测度集合上成立。这一论证可以很容易地加以改进，以证明 $f-g=0$ 几乎处处成立。因此，密度 $f$ 由 $T_f$ 唯一确定，至多在一个测度为零的集合上除外。通过将 $f$ 与 $T_f:$ 等同起来，局部可积函数可以被视为分布。然而，并非所有分布都以这种方式产生；具有密度 $T=T_f$ 的分布有时被称为 正则分布(regular distribution)，而那些不对应于任何局部可积函数的分布则称为 奇异分布(singular distribution)。

例 12.2

在 $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ 上定义分布 ${\delta }_a$ 为

$${\delta }_a(\phi )=\phi (a).$$

特别地，我们记 $\delta$ 为 ${\delta }_0$ ，从而 $\delta (\phi )=\phi (0)$ 。映射 ${\delta }_a:\mathcal{D}(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ 显然是线性的，${\delta }_a(b\phi +c\psi )=b\phi (a)+c\psi (a)=b{\delta }_a(\phi )+c{\delta }_a(\psi )$ ，并且由于 ${\phi }_n\to \phi ⟹{\phi }_n(a)\to \phi (a)$ 而连续。因此 ${\delta }_a$ 是一个分布，但根据本章开头的推理，它不可能对应于任何局部可积函数。因此它是一个奇异分布。尽管如此，物理学家和工程师常常保留密度记号并写作

$$\delta (\phi )\equiv {\int }_{-\infty }^{\infty }\phi (x)\delta (x)dx=\phi (0).\text{\hspace{1em}(12.2)}$$

在写出这样的方程时，设想分布 $\delta$ 具有形式 $T_{\delta }$，其中密度函数 $\delta (x)$ 集中在点 $x=0$ 处，并在该点处具有如式 (12.1) 那样的无穷值，使得

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (x)\mathrm{d}x=1.$$

采用类似的约定，分布${\delta }_a$可视为表示密度函数${\delta }_a(x)$，使得

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\phi (x){\delta }_a(x)\mathrm{d}x=\phi (a)$$

对一切试验函数 $\phi .$。通常记作 ${\delta }_a(x)=\delta (x-a)$，因为在作“变量替换 $x=y+a$”时

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\phi (x)\delta (x-a)dx={\int }_{-\infty }^{\infty }\phi (y+a)\delta (y)dy=\phi (a).$$

$n$维狄拉克函数可类似地定义为

$${\delta }_{\mathbf{a}}^n(\phi )=\phi (\mathbf{a})=\phi (a_1,\dots ,a_n)$$

并且可以写成

$${\delta }_{\mathbf{a}}^n(\phi )\equiv T_{{\delta }_{\mathbf{a}}^n}(\phi )={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\cdots \int \phi (\mathbf{x}){\delta }^n(\mathbf{x}-\mathbf{a}){\mathrm{d}}^{n}x=\phi (\mathbf{a})$$

其中

$${\delta }^n(\mathbf{x}-\mathbf{a})=\delta (x_1-a_1)\delta (x_2-a_2)\dots \delta (x_n-a_n).$$

尽管一般不能定义分布的乘积，但在本例中不会出现问题，因为右端的狄拉克函数依赖于彼此独立无关的变量。

习题

习题 12.1

构造一个试验函数，使得对于 $|x|\ge 2$ 有 $\varphi (x)=1\mathrm{for}|x|\le 1$ 和 $\varphi (x)=0$

习题 12.2

对每个紧集 $K\subset {\mathbb{R}}^n$ ，令 $\mathcal{D}(K)$ 为支集包含于 $K$ 内的 $C^{\infty }$ 紧支集函数空间。证明：若将所有整数向量 $\underline{k}$ 排成一个序列，其中 $N(\underline{k})$ 表示 $\underline{k}$ 在该序列中的位置，则

$$\Vert f{\Vert }_K=\underset{\mathbf{x}\in K}{\sup }\sum _{|\underline{k}|}\frac{1}{2^{N(\underline{k})}}\frac{|D_{\underline{k}}f(\mathbf{x})|}{1+|D_{\underline{k}}f(\mathbf{x})|}$$

是 $\mathcal{D}(K)$ 上的一个范数。若集合 $U$ 是开球 $\{g\in K\mid \Vert g-f{\Vert }_K<a\}$ 的并集，则定义它在 $\mathcal{D}({\mathbb{R}}^n)$ 中为开集。证明这是一个拓扑，并且关于此拓扑的序列收敛与紧支集函数序列的各阶收敛相同。

习题 12.3

下列哪一项是分布？

$$T(\varphi )=\sum _{n=1}^m{\lambda }_n{\varphi }^{(n)}(0)({\lambda }_n\in \mathbb{R}).$$ $$\text{(b)}T(\varphi )=\sum _{n=1}^m{\lambda }_n\varphi (x_n)({\lambda }_n,x_n\in \mathbb{R}).$$ $$\text{ (c) }T(\varphi )={\left(\varphi (0)\right)}^2.$$

(d) $T(\varphi )=\sup \varphi .$

(e) $T(\varphi )={\int }_{-\infty }^{\infty }|\varphi (x)|\mathrm{d}x.$

习题 12.4

我们说一列分布 $T_n$ 收敛到分布 $T$，记作 $T_n\to T$，如果对所有试验函数 $\varphi \in \mathcal{D}$ 都有 $T_n(\varphi )\to T(\varphi )$（这有时称为 弱收敛(weak convergence)）。如果一列连续函数 $f_n$ 在 $\mathbb{R}$ 的每个紧子集上一致收敛到函数 $f(x)$，证明相应的正则分布 $T_{f_n}\to T_f$

在分布意义下，证明我们有以下收敛：

$$f_n(x)=\frac{n}{\pi (1+n^2{x}^2)}\to \delta (x),$$ $$g_n(x)=\frac{n}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-n^2{x}^2}\to \delta (x).$$