无界的 (unbounded)

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已登记出处中的最早位置：§13.6 · en。

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来源短摘录与定位

§13.6 · en · original_transcription · unreviewed

A linear operator $A$ on a Hilbert space is unbounded if for any $M>0$ there exists a vector $u$ such that $\Vert Au\Vert \ge M\Vert u\Vert$ . Very few interesting examples of unbounded operators are defined on all of $\mathcal{H}$ – for self-adjoint operators, there are none at all. It is therefore usual to consider an unbounded operator $A$ as not being necessarily defined over all of $\mathcal{H}$ but only on some vector subspace $D_{\mathcal{A}}\subseteq \mathcal{H}$ called the domain of $A$. Its range is defined as the set of vectors that are mapped onto, $R_A=A(D_A)$ . In general we will refer to a pair $(A,D_A)$ , where $D_A$ is a vector subspace of $\mathcal{H}$ and $A:D_A\to R_A\subseteq \mathcal{H}$ is a linear map, as being an operator in $\mathcal{H}$. Often we will simply refer to the operator $A$ when the domain $D_A$ is understood.

§13.6 · zh-CN · translation · unreviewed

对一个希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 上的线性算符$A$ 而言，若满足如果对于任何 $M>0$ ，存在一个向量 $u$ 使得 $\Vert Au\Vert \ge M\Vert u\Vert$，则算符称为无界的(unbounded)。在整个 $\mathcal{H}$ 上的无界算符中的有趣示例很少 ， 例如自伴算符就根本没有。因此，通常认为无界算子 $A$ 不一定定义在整个 $\mathcal{H}$ 上，而只定义在某个向量子空间 $D_A\subseteq \mathcal{H}$ 称为 $A$ 的定义域(domain)。它的值域(range)定义为映射到的向量集合，$R_A=A\left(D_A\right)$。一般来说，我们会用一对 $\left(A,D_A\right)$，其中 $D_A$ 是 $\mathcal{H}$的向量子空间 且$A:D_A\to R_A\subseteq \mathcal{H}$ 是一个线性映射，来指代一个$\mathcal{H}$ 中的算符。当定义域 $D_A$没有歧义时，我们通常会简单地用算符 $A$来指代。

来源覆盖、定位与记录

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