全对称张量 (totally symmetric tensor)

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§7.4 · zh-CN · translation · unreviewed

习题 7.18

证明：在维数为 $n$ 的向量空间 $V$ 上，满足 $T_{ij}=T_{ji}$ 的秩为 2 的协变对称张量构成一个维数为 $n(n+1)/2$ 的向量空间。

(a) 一个类型为 $(0,r)$ 的张量 $S$ 称为 全对称张量(totally symmetric tensor)，如果 $S_{i_1{i}_2\dots i_r}$ 在任意交换指标下保持不变。在 $V?$ 上由全对称张量张成或生成的子空间的维数是多少？

(b) 求具有循环对称性的3阶协变张量构成的向量空间的维数

$$T(u,v,w)+T(v,w,u)+T(w,u,v)=0.$$

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