7.4 张量运算

English

缩并

张量积的过程 式 (7.15) 从较低阶的张量生成较高阶的张量，

$$\otimes :V^{(r,s)}\times V^{(p,q)}\to V^{(r+p,s+q)}.$$

我们现在描述一种降低张量阶数的运算。首先，考虑一个 (1, 1) 型的混合张量 $\mathcal{T}={\mathcal{T}}_j^i{e}_i\otimes {\epsilon }^j$。它的 缩并(contraction) 定义为一个标量，记作 $C_1^{1}T$，由下式给出

$$C_1^{1}T=T({\epsilon }^i,e_i)=T({\epsilon }^1,e_1)+\cdots +T({\epsilon }^n,e_n).$$

尽管在此定义中使用了 $V$ 的一个基及其对偶基，但它与基的选择无关，因为若 $e_{i^{\prime }}^{\prime }=A^{\prime }{}_{i^{\prime }}^i{e}_i$ 是任何其他基，则

$$\begin{array}{rl}T({\epsilon }^{\prime i^{\prime }},e_{i^{\prime }}^{\prime })& =T(A_i^{i^{\prime }}{\epsilon }^i,A_{i^{\prime }}^{\prime k}{e}_k)\\ & =A_i^{i^{\prime }}{A}_{i^{\prime }}^{\prime k}T({\epsilon }^i,e_k)\\ & ={\delta }_i^{k}T({\epsilon }^i,e_k)\text{using Eq. (7.27)}\\ & =T({\epsilon }^i,e_i).\end{array}$$

在分量中，缩并写作

$$C_1^{1}T=T_i^i=T_1^1+T_2^2+\dots T_n^n.$$

这是一个与基无关的表达式，因为

$$T_{i^{\prime }}^{\prime i^{\prime }}=T_j^i{A}_i^{i^{\prime }}{A}_{i^{\prime }}^{\prime j}=T_j^i{\delta }_i^j=T_i^i.$$

随文练习

若 $T=u\otimes \omega$, ，证明其缩并为 $C_1^{1}T=\omega (u)$

更一般地，对于类型为 $(r,s)$ 且 $r>0$ 与 $s>0$ 均成立的张量 $T$，可以将其 $(p,q)$-缩并 $(1\le p\le r,1\le q\le s)$ 定义为类型为 $(r-1,s-1)$ 的张量 $C_q^{p}T$，其定义为

$$\begin{array}{c}(C_q^{p}T)({\omega }^1,\dots ,{\omega }^{r-1},v_1,\dots ,v_{s-1})\\ ={\sum }_{k=1}^{n}T({\omega }^1,\dots ,{\omega }^{p-1},{\epsilon }^k,{\omega }^{p+1},\dots ,{\omega }^{r-1},\\ v_1,\dots ,v_{q-1},e_k,v_{q+1},\dots ,v_{s-1}).\end{array}\text{\hspace{1em}(7.31)}$$

随文练习

证明 $C_q^{p}T$ 的定义与基的选择无关。其证明与 $r=s=1$ 情形的证明本质上相同

代入${\omega }^1={\epsilon }^{i_1},\dots ,v_1=e_{j_1},\dots ,\mathrm{etc}$.后，我们得到用分量表示的$(p,q)$缩并的表达式，

$$(C_q^{p}T{)}_{j_1\dots j_{s-1}}^{i_1\dots i_{r-1}}=T_{j_1\dots j_{q-1}k{j}_{q+1}\dots j_{s-1}}^{i_1\dots i_{p-1}k{i}_{p+1}\dots i_{r-1}}.\text{\hspace{1em}(7.32)}$$

例 7.11

设 $T$ 为 (2, 3) 型张量，其分量为 $T^{ij}{}_{klm}$。令 $A=C_2^{1}TB=C_3^{2}T$ 和 $D=C_1^{1}T$。用 $T$ 的分量表示，

$$\begin{array}{r}{A}_{km}^j=T_{kim}^{ij},\\ B_{kl}^i=T_{klj}^{ij},\\ D_{lm}^j=T_{ilm}^{ij}.\end{array}$$

在例7.10中定义的特殊混合张量$\delta$的典型缩并性质由以下公式说明：

$$\begin{array}{c}{\delta }_j^i{T}_{kl}^j=T_{kl}^i,\\ {\delta }_j^i{S}_{ik}^{lm}=S_{jk}^{lm},\\ {\delta }_i^i=\underset{n}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}=n=\dim V.\end{array}$$

随文练习

把这些方程写成$C_q^p$形式。

升降指标

设 $V$ 为实内积空间，其度量张量为 $g=g_{ij}{\epsilon }^i\otimes {\epsilon }^j$，使得

$$u\cdot v=g_{ij}{u}^i{v}^j=C_1^1{C}_2^{2}g\otimes u\otimes v.$$

由定理 5.1，分量 $g_{ij}$ 构成一个非奇异矩阵，因此 $det[g_{ij}]\ne 0$。如例 7.8 所示，存在一个张量 $g^{-1}$，其分量记作 $g^{ij}=g^{ji}$，构成逆矩阵 ${\mathsf{G}}^{-1}$。给定向量 $u=u^i{e}_i$，余向量 $C_2^1(g\otimes u)$ 的分量可写作

$$u_i=g_{ij}{u}^j,$$

这一过程称为降指标(lowering the index)。反之，给定余向量$\omega =w_i{\epsilon }^i$，向量$C_1^2{g}^{-1}\otimes \omega$可以写成分量形式

$$w^i=g^{ij}{w}_j,$$

并称为升指标(raising the index)。按任意顺序连续进行降指标与升指标，均无影响，因为

$$u^i={\delta }_j^i{u}^j=g^{ik}{g}_{kj}{u}^j=g^{ik}{u}_k.$$

这一点很重要，因为如果没有这一性质，在升标或降标运算中保留同一核字母$u$的约定就会完全站不住脚。

随文练习

证明：对向量 $u$ 降指标等价于将例 7.6 中的映射 $\bar{g}$ 作用于 $u$，而对余向量 $\omega$ 升指标等价于例 7.8 中的映射 ${\bar{g}}^{-1}$。

张量 $g$ 和 $g^{-1}$ 一般可用于升降张量的指标，例如

$$T_i^j=g_{ik}{T}^{kj}=g^{jk}{T}_{ik}=g_{ik}{g}^{jl}{T}_l^k,etc.$$

强烈建议在此过程中将混合张量的上下指标分开书写，否则将无法明确某个指标应被升入或降入哪一个‘槽位’。例如

$$S_i{}^j{}_p{}^m=S_l^{kjq}{g}_{ik}{g}_{qp}{g}^{ml}.$$

若未指定度量张量，则协变指标与逆变指标的相对次序没有区别，它们可以简单地一个置于另一个之上 ${}_{\mathrm{or}}$,，如上面常见的那样，逆变指标可以放在前面，随后是协变指标。然而，鉴于具有升降指标的能力，正确间隔所有指标是重要的。实际上，通过下降所有上指标，每个张量都可以表示为纯协变形式。或者，通过提升每个下指标，它可以表示为纯逆变形式。然而，除非指标被正确间隔，否则我们将不知道这两种形式中的不同指标来自原始的“未降”张量中的何处。

例 7.12

需要注意的是，虽然 ${\delta }^i{}_j$ 是混合张量的分量，但符号 ${\delta }_{ij}$ 并不表示协变次数为 2 的张量的分量。因此，我们尽量避免在一般张量分析中使用该符号。然而，根据定理 5.2，对于具有正定度量张量 $g$ 的欧几里得内积空间，总是可以找到一组正交标准基 $\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$，使得

$$e_i\cdot e_j=g_{ij}={\delta }_{ij}.$$

在这种情况下，经常采用一种称为笛卡尔张量(cartesian tensor)的特殊受限张量理论，其中只允许使用正交归一基，并且基变换被限制为正交变换。在该理论中，${\delta }_{ij}$可以被视为一个张量。此时逆度量张量也具有相同的分量$g^{ij}={\delta }_{ij}$，并且任何分量指标的下降版本与其上升版本相同，

$$T_{\dots i\dots }=g_{ij}{T}_{\dots }^j\cdots ={\delta }_{ij}{T}_{\dots }^j\cdots =T^{\dots i\dots }.$$

因此，每个笛卡尔张量都可以将其所有指标写在下方位置，$T_{ijk..}$，因为提升一个指标不会影响张量分量的值。

在笛卡尔张量中，即使重复指标均为下标，也通常采用求和约定。例如，在力学和电磁学中常用的三维欧几里得空间的标准向量理论中，人们采用诸如

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_i{b}_i\equiv a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3,$$

和

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}={ϵ}_{ijk}{a}_j{b}_k\equiv \sum _{i=1}^3\sum _{j=1}^3{ϵ}_{ijk}{a}_j{b}_k,$$

其中交错符号 ${ϵ}_{ijk}$ 由下式定义

$${ϵ}_{ijk}=\{\begin{array}{ll}1& \text{ if }ijk\text{ is an even permutation of }123,\\ -1& \text{ if it is an odd permutation of }123,\\ 0& \text{ if any pair of }ijk\text{ are equal. }\end{array}.$$

第8章将证明，对于正交变换，${ϵ}_{ijk}$ 是一个类型为 (0, 3) 的笛卡尔张量。

对称性

一个 (0, 2) 型张量 $S$ 称为 对称张量(symmetric tensor)，如果对 $V$ 中的所有向量 $u$、$v$ 都有 $S(u,v)=S(v,u)$；而一个 (0, 2) 型张量 $A$ 称为 反对称张量(antisymmetric tensor)，如果 $A(u,v)=-A(v,u)$

随文练习

就分量而言，证明 $S$ 是对称张量当且仅当 $S_{ij}=S_{ji}$，并且 $A$ 是反对称的当且仅当 $A_{ij}=-A_{ji}$

任意类型为 (0, 2) 的张量 $T$ 都可以分解为对称部分与反对称部分，$T=\mathcal{S}(T)+\mathcal{A}(T)$，其中

$$\begin{array}{l}\mathcal{S}(T)(u,v)=\frac{1}{2}(T(u,v)+T(v,u)),\\ \mathcal{A}(T)(u,v)=\frac{1}{2}(T(u,v)-T(v,u)).\end{array}$$

显然，这些张量分别是对称的和反对称的。令$u=e_i,v=e_j$，此分解变为

$$T_{ij}=T(e_i,e_j)=T_{(ij)}+T_{[ij]},$$

其中

$$T_{(ij)}=\mathcal{S}(T{)}_{ij}=\frac{1}{2}(T_{ij}+T_{ji})$$

和

$$T_{[ij]}=\mathcal{A}(T{)}_{ij}=\frac{1}{2}(T_{ij}-T_{ji}).$$

类似的讨论适用于类型为 (2, 0) 的张量，其分量为 $T^{ij}$，但不能谈论混合张量的对称性。

随文练习

证明 $T_j^i=T_i^j$ 不是张量方程，因为它在基变换下不是不变的。

若 $A$ 是 (0, 2) 型反对称张量，而 $S$ 是 (2, 0) 型对称张量，则它们的全缩并为零，

$$C_1^1{C}_2^{2}A\otimes S\equiv A_{ij}{S}^{ij}=0\text{\hspace{1em}(7.33)}$$

因为

$$A_{ij}{S}^{ij}=-A_{ji}{S}^{ji}=-A_{ij}{S}^{ij}.$$

习题

习题 7.15

设 $g_{ij}$ 为内积在基 $u_1,u_2,u_3$ 下的分量

$$g_{ij}=u_i\cdot u_j=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right).$$

(a) 求形如 $e_1=u_1,e_2=u_2,e_3=a{u}_1+b{u}_2+c{u}_3$ 的正交标准基，使得 $a>0$，并求该内积的指标。

(b) 若 $\begin{array}{r}v=u_1+\frac{1}{2}{u}_3\end{array}$，求其降标分量 $v_i$

(c) 用上面找到的正交标准基表示 $v$，并写出它关于该基的降分量。

习题 7.16

设 $g$ 为向量空间 $V$ 上的度量张量，并定义 $T$ 为该张量

$$T=a{g}^{-1}\otimes g+\delta \otimes u\otimes \omega$$

其中 $u$ 是 $V$ 的一个非零向量，而 $\omega$ 是一个余向量。

(a) 写出张量 $T$ 的分量 $T^{ij}{}_{kl}$。

(b) 计算以下四个缩并的分量：

$$A=C_1^{1}T,B=C_2^{1}T,C=C_1^{2}T,D=C_2^{2}T$$

并证明 $B=C$.

(c) 证明 $D=0\mathrm{iff}\omega (u)=-a$。由此证明，若 $T_{kl}^{ij}{u}^l{u}_j=0$，则 $D=0$。

(d) 证明：若 $\mathrm{if}n=\dim V>1$，则 $T_{kl}^{ij}{u}^l{u}_j=0$ 当且仅当 $\dot{a}=\omega (u)=0\mathrm{or}{u}_i{u}^i=0$.

习题 7.17

在维数为$n$的向量空间$V$上，设$T$是一个秩为(1, 1)的张量，$S$是一个秩为(0, 2)的对称张量，$\delta$是通常的秩为(1, 1)的“不变张量”。写出该张量的分量$R^{ij}{}_{klmr}$

$$R=T\otimes S\otimes \delta +S\otimes \delta \otimes T+\delta \otimes T\otimes S.$$

对该张量关于$i$与$k$进行缩并，并利用${{\delta }^i}_j$的任何可用缩并性质。再对指标$j$与$r$进行进一步的缩并。

习题 7.18

证明：在维数为 $n$ 的向量空间 $V$ 上，满足 $T_{ij}=T_{ji}$ 的秩为 2 的协变对称张量构成一个维数为 $n(n+1)/2$ 的向量空间。

(a) 一个类型为 $(0,r)$ 的张量 $S$ 称为 全对称张量(totally symmetric tensor)，如果 $S_{i_1{i}_2\dots i_r}$ 在任意交换指标下保持不变。在 $V?$ 上由全对称张量张成或生成的子空间的维数是多少？

(b) 求具有循环对称性的3阶协变张量构成的向量空间的维数

$$T(u,v,w)+T(v,w,u)+T(w,u,v)=0.$$