马施克定理 (Maschke’s theorem)

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§5.3 · zh-CN · translation · unreviewed

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§5.3 · en · original_transcription · unreviewed

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原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

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在本节所用的有限维复向量空间语境中，马施克定理说明：有限群的表示可分解为不可约表示的直和。证明依赖复内积及正交补，不能将这段表述扩展为任意底域上的定理。 Szekeres · §5.3；Szekeres · §5.3

作者先从复坐标定义一个内积，再对有限群作用取平均，得到群作用保持不变的内积：

⟨ u ∣ v ⟩ = \frac{1}{∣ G ∣} a \in G \sum (T (a) u ∣ T (a) v), (5.22)

在该内积下，若 $W$ 是不变子空间，则 $W^{⊥}$ 也不变；因此 $V = W \oplus W^{⊥}$ ，可以在两部分上继续拆分，直到得到不可约子表示。 Szekeres · §5.3；Szekeres · §5.3

Szekeres · 作者条件与约定

本节先在复向量空间上选取基并构造 Hermitian 内积，再对有限群的作用取平均，使每个表示算子成为酉算子。这样不变子空间的正交补仍然不变；反复分解便得到不可约子表示的直和。

条件：定理讨论有限群 $G$ 的有限维表示。本节证明处于复向量空间语境：坐标系数取自 $C$ ，并使用 Hermitian 内积与其正交补。此处不主张任意底域上的版本。

记号： $T (g)$ 表示群元素 $g$ 的线性变换； $W$ 表示不变子空间， $W^{⊥}$ 是关于所构造内积的正交补。

来源覆盖、定位与记录

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