5.3 有限群的表示

English

若 $G$ 是有限群，则事实上每个有限维表示都等价于内积空间上由酉变换给出的表示——称为 酉表示(unitary representation)。因为，设 $T$ 是任意有限维向量空间 $V,$ 上的一个表示，并设 $\{e_i\}$ 是 $V$ 的任意一组基。通过令 $\{e_i\}$ 为正交归一集合，在 $V$ 上定义内积 $(u|v)$，

$$(u|v)=\sum _{i=1}^n\overline{u^i}{v}^i\text{ where }u=u^i{e}_i,v=v^j{e}_j(u^i,v^j\in \mathbb{C}).\text{\hspace{1em}(5.21)}$$

当然，没有理由要求线性变换 $T(g)$ 关于此内积是酉的，但它们将关于内积 $⟨u\mid v⟩$ 是酉的。

由“对群取平均”构成，

$$⟨u|v⟩=\frac{1}{|G|}\sum _{a\in G}(T(a)u|T(a)v),\text{\hspace{1em}(5.22)}$$

其中 $|G|$ 是群 $G$ 的阶（即 $G$ 中元素的个数）。这可由

$$\begin{array}{rl}⟨T(g)u|T(g)v⟩& =\frac{1}{|G|}{\sum }_{a\in G}(T(a)T(g)u|T(a)T(g)v)\\ & =\frac{1}{|G|}{\sum }_{a\in G}(T(ag)u|T(ag)v)\\ & =\frac{1}{|G|}{\sum }_{b\in G}(T(b)u|T(b)v)\\ & =⟨u|v⟩\end{array}$$

由于当 $G,$ 遍历群时，对于任意固定的 $g\in G$，$b=ag$ 也如此

定理 5.7 · 马施克定理 (Maschke’s theorem)

有限群 $G$ 的任意有限维表示均可完全约化为不可约表示的直和。

证明

利用上述手段，我们可以假定该表示在有限维希尔伯特空间 $V$ 上是酉的，其内积为 $⟨\cdot |\cdot ⟩$。若 $W$ 是 $V$ 的向量子空间，则定义其 正交补(orthogonal complement) $W^{\perp }$ 为与 $W$ 正交的向量集合。

$$W^{\perp }=\{u\mid ⟨u\mid w⟩=0,\forall w\in W\}.$$

$W^{\perp }$ 显然是向量子空间，因为若 $\alpha$ 是任意复数，则

$$u,v\in W^{\perp }⟹⟨u+\alpha v|w⟩=⟨u|w⟩+\alpha ⟨v|w⟩=0⟹u+\alpha v\in W^{\perp }.$$

通过选取一个标准正交基，使得前 $\dim$ 个 $W$ 向量属于 $W_{;}$，由此可知该基的其余向量张成 $W^{\perp }$。因此 $W$ 与 $W^{\perp }$ 是正交且互补的子空间，$H=W\oplus W^{\perp }$。若 $W$ 是 $G$ 不变子空间，则 $W^{\perp }$ 也是 $G$ 不变的。因为，若 $u\in W^{\perp }$，则对任意 $w\in W$，

$$\begin{array}{l}0=⟨T(g)u|w⟩=⟨T(g)u|T(g)T(g{)}^{-1}w⟩\\ =⟨u|T(g^{-1})w⟩\text{ since }T(g)\text{ is unitary }\\ =0\end{array}$$

由于 $T(g^{-1})w\in W$ 由 $W$ 的 $G$-不变性可得。因此 $T(g)u\in W^{\perp }$

现在取 $W$ 为 $V$ 的 $G$ 不变子空间中维数最小者，不计平凡子空间 0。在 $W$ 上诱导出的表示必定是不可约的，因为它不可能有真 $G$ 不变子空间，否则这些子空间的维数会更小。若 $W=V$，则表示 $T$ 是不可约的。若 $W\ne V$，其正交补 $W^{\perp }$ 要么不可约，此时证明完成，要么它有一个非平凡不变子空间 $W^{\prime }$。再次选取维数最小的不变子空间，并按此方式继续，直到 $V$ 是不可约子空间的直和，

$$V=W\oplus W^{\prime }\oplus W^{\prime \prime }\oplus \dots$$

表示 $T$ 分解为子表示 $T{|}_{W^{(i)}}.$

正交关系

不可约群表示的矩阵的分量满足若干重要的正交关系，这些关系是群表示分类方法的基石。我们仅给出其中一些关系；其余关系可在 [4, 5] 中找到。

设 $T_1$ 与 $T_2$ 分别是有限群 $G$ 在复向量空间 $V_1$ 与 $V_2$ 上的不可约表示。若 $\{e_i\mid i=1,\dots ,n_1=\dim V_1\}$ 与 $\{f_a|a=1,\dots ,n_2=\dim V_2\}$ 是这两个向量空间的基，则我们将表示矩阵写作 ${\mathsf{T}}_1(g)=$ $[T_{(1)}{}^j{}_i]$ 与 ${\mathsf{T}}_2(g)=[T_{(2)}{}_a^b]$，其中

$$T_1(g)e_i=T_{(1)}{}^j{}_i{e}_j\text{ and }{T}_2(g)f_a=T_{(2)}{}^b{}_a{f}_b.$$

若 $A:V_1\to V_2$ 是任意线性映射，则定义其“群平均(group average) $\tilde{A}:V_1\to V_2$ 为线性映射

$$\tilde{A}=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}{T}_2(g)A{T}_1(g^{-1}).$$

那么，如果 $h$ 是群 $G$ 的任意元素，

$$\begin{array}{l}{T}_2(h)\tilde{A}{T}_1(h^{-1})=\frac{1}{|G|}{\sum }_{g\in G}{T}_2(hg)A{T}_1((hg{)}^{-1})\\ =\frac{1}{|G|}{\sum }_{g^{\prime }\in G}{T}_2(g^{\prime })A{T}_1((g^{\prime }{)}^{-1})\\ =\tilde{A}.\end{array}$$

因此，$\tilde{A}$ 是一个交织算符，

$$T_2(h)\tilde{A}=\tilde{A}{T}_1(h)\text{ for all }h\in G,$$

而由舒尔引理，定理 4.6，若 $T_1\nsim T_2$，则 $\tilde{A}=0$。另一方面，由舒尔引理的推论 4.7，若 $V_1=V_2=V$ 且 $T_1=T_2$，则 $\tilde{A}=c{\mathrm{id}}_V$。该方程关于 $V$ 的任意基的矩阵形式为 $\tilde{\mathsf{A}}=c\mathsf{I}$，取迹便得到

$$c=\frac{1}{n}\mathrm{tr}\tilde{\mathsf{A}}.$$

然而

$$\begin{array}{l}\mathrm{tr}\tilde{\mathsf{A}}=\frac{1}{|G|}\mathrm{tr}{\sum }_{g\in G}\mathsf{T}(g)\mathsf{A}{\mathsf{T}}^{-1}(g)\\ =\frac{1}{|G|}{\sum }_{g\in G}\mathrm{tr}({\mathsf{T}}^{-1}(g)\mathsf{T}(g)\mathsf{A})\\ =\frac{1}{|G|}{\sum }_{g\in G}\mathrm{tr}\mathsf{A}=\mathrm{tr}\mathsf{A},\end{array}$$

因此

$$c=\frac{1}{n}\mathrm{tr}\mathsf{A}.$$

若 $T_1\nsim T_2$，则用基 $e_1$ 与 $f_a$ 表示 $A$ 和 $\tilde{A}$，

$$A{e}_i=A_i^a{f}_a\mathrm{and}\tilde{A}{e}_i={\tilde{A}}_i^a{f}_a$$

舒尔引理的上述推论可以写成

$${\tilde{A}}_i^a=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}{T}_{(2)b}^a(g)A_j^b{T}_{(1)i}^j(g^{-1})=0.$$

由于 $A$ 是任意算符，矩阵元 ${\mathbf{A}}_j^b$ 是任意复数，因此

$$\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}{T}_{(2)b}^a(g)T_{(1)i}^j(g^{-1})=0.\text{\hspace{1em}(5.23)}$$

若$T_1=T_2=T$且$n=\dim V$是该表示的次数，则我们有

$${\tilde{A}}_i^j=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}{T}_k^j(g)A_l^k{T}_i^l(g^{-1})=\frac{1}{n}{A}_k^k{\delta }_i^j.$$

由于 ${\mathbf{A}}_l^k$ 是任意的，

$$\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}{T}_k^j(g)T_i^l(g^{-1})=\frac{1}{n}{\delta }_i^j{\delta }_k^l.\text{\hspace{1em}(5.24)}$$

若 $⟨\cdot \mid \cdot ⟩$ 是由向量空间 $V$ 上的表示 $T$ 通过式 (5.22) 定义的不变内积，且 $\{e_i\}$ 是任意一组基，使得

$$⟨e_i|e_j⟩={\delta }_{ji},$$

于是，酉性条件 $⟨T(g)u\mid T(g)v⟩=⟨u\mid v⟩$ 意味着

$$\sum _k\overline{T_{ki}(g)}{T}_{kj}(g)={\delta }_{ij},$$

其中 $T$ 上的指标均为下指标。在矩阵中

$${\mathsf{T}}^{†}(g)\mathsf{T}(g)=\mathsf{I},$$

因此

$$\mathsf{T}(g^{-1})=(\mathsf{T}(g){)}^{-1}={\mathsf{T}}^{†}(g),$$

或等价地

$$T_{ji}(g^{-1})=\overline{T_{ij}(g)}.\text{\hspace{1em}(5.25)}$$

将此关系中的 $T_1$ 以 $T$ 代入方程 (5.23)，并将所有指标降下后，得到

$$\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}\overline{T_{(1)ij}(g)}{T}_{(2)ab}(g)=0.\text{\hspace{1em}(5.26)}$$

类似地，如果 $T_1=T_2=T$，则式 (5.25) 和式 (5.24) 给出

$$\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}\overline{T_{ij}(g)}{T}_{kl}(g)=\frac{1}{n}{\delta }_{ik}{\delta }_{jl}.\text{\hspace{1em}(5.27)}$$

方程 Eq. (5.26) 与 Eq. (5.27) 的左端具有内积的形式，而事实确实如此。设 $\mathcal{F}(G)$ 为 $G$ 上所有复值函数构成的空间

$$\mathcal{F}(G)=\{\varphi \mid \varphi :G\to \mathbb{C}\}$$

带内积

$$(\varphi ,\psi )=\frac{1}{|G|}\sum _{a\in G}\overline{\varphi (a)}\psi (a).\text{\hspace{1em}(5.28)}$$

容易验证，该内积满足要求 (IP1)–(IP3)，即

$$\begin{array}{c}(\varphi ,\psi )=\overline{(\psi ,\varphi )},\\ (\varphi ,\alpha \psi )=\alpha (\varphi ,\psi ),\\ (\varphi ,\varphi )\ge 0\text{ and }(\varphi ,\varphi )=0\text{ iff }\varphi =0.\end{array}$$

任何表示关于标准正交基的矩阵分量 $T_{ji}$ 构成 $G$ 上的一组 $n^2$ 复值函数，而式 Eq. (5.26) 与式 Eq. (5.27) 则读作

$$(T_{(1)ij},T_{(2)ab})=0\text{ if }{T}_1\nsim T_2,\text{\hspace{1em}(5.29)}$$

和

$$(T_{ij},T_{kl})=\frac{1}{n}{\delta }_{ik}{\delta }_{jl}.\text{\hspace{1em}(5.30)}$$

例 5.8

考虑群 $S_3$，记号如例 4.8 中所示。在由 $e_1,e_2$ 与 $e_3$ 张成的空间上，不变内积式 (5.22) 由下式给出

$$\begin{array}{l}⟨u|v⟩=\frac{1}{6}{\sum }_{\pi }{\sum }_{i=1}^3(\overline{T(\pi )u{)}^i}(T(\pi )v{)}^i\\ =\frac{1}{6}(\overline{u^1}{v}^1+\overline{u^2}{v}^2+\overline{u^3}{v}^3+\overline{u^3}{v}^3+\overline{u^1}{v}^1+\overline{u^2}{v}^2+\dots )\\ =\overline{u^1}{v}^1+\overline{u^2}{v}^2+\overline{u^3}{v}^3.\end{array}$$

因此，$\{e_i\}$ 构成该内积的一个标准正交基，

$$h_{ij}=⟨e_i|e_j⟩={\delta }_{ij}.$$

正是因为 $S_3$ 遍历所有置换，平均过程才与由式 (5.21) 定义的内积给出相同的结果。对于 $S_n$ 作用在由 $\{e_1,\dots ,e_n\}$ 张成的 $n$ 维空间上的情形，也会得到类似的结论，但一般而言，这些向量关于由 $S_n$ 的任意子群所定义的内积 Eq. (5.22) 并非标准正交。

如例 4.8 所示，向量 $f_1=e_1+e_2+e_3$ 张成关于 $S_3$ 的这个表示的一个不变子空间。如例 4.8 所示，向量 $f_1,f_2=e_1-e_2$ 与 $f_3=e_1+e_2-2e_3$ 相互正交，

$$⟨f_1\mid f_2⟩=⟨f_1\mid f_3⟩=⟨f_2\mid f_3⟩=0.$$

因此，由$f_2$和$f_3$张成的子空间与$f_1$正交，并且根据定理5.7的证明，它也是不变的。通过将它们的长度归一化，形成一个正交归一集合，使得

单位，

$$f_1^{\prime }=\frac{f_1}{\sqrt{3}},f_2^{\prime }=\frac{f_2}{\sqrt{2}},f_3^{\prime }=\frac{f_3}{\sqrt{6}}.$$

$T_1$ 在由 $f_1^{\prime }$ 张成的一维子空间上的表示显然是平凡表示，其中每个群元素都被映射为数 1，

$$T_1(\pi )=1\text{ for all }\pi \in S_3.$$

表示 $T_2$ 在由 $h_1=f_2^{\prime }$ 和 $h_2=f_3^{\prime }$ 张成的子空间上的矩阵，可以通过变换到重整化基，从例 4.8 中给出的矩阵的 $2\times 2$ 部分容易地得到，

$${\mathsf{T}}_2(e)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),{\mathsf{T}}_2({\pi }_1)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right),{\mathsf{T}}_2({\pi }_2)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right),$$ $${\mathsf{T}}_2({\pi }_3)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),{\mathsf{T}}_2({\pi }_4)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right),{\mathsf{T}}_2({\pi }_5)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right).$$

容易验证式 (5.29)：

$$\left(T_{(1)11},T_{(2)11}\right)=\frac{1}{6}(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2})=0,$$ $$\left(T_{(1)11},T_{(2)12}\right)=\frac{1}{6}\left(0-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+0+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0,\text{ etc. }$$

在例 4.8 之后的练习中，表示 $T_2$ 是一个不可约表示，其中 $n=2$，并且关系式 Eq. (5.30) 验证如下：

$$\left(T_{(2)11},T_{(2)11}\right)=\frac{1}{6}\left(1^2+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+(-1{)}^2+{\frac{1}{2}}^2+{\frac{1}{2}}^2\right)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}{\delta }_{11}{\delta }_{11}=\frac{1}{2}$$ $$\left(T_{(2)12},T_{(2)12}\right)=\frac{1}{6}\left({\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2\right)=\frac{1}{2}=\frac{1}{2}{\delta }_{11}{\delta }_{22}$$ $$\left(T_{(2)11},T_{(2)12}\right)=\frac{1}{6}\left(1\cdot 0-\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-1\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)$$ $$=0=\frac{1}{2}{\delta }_{11}{\delta }_{12},\text{ etc. }$$

定理 5.8 · 不可约表示的有限性与维数平方和上界 (Finiteness of irreducible representations and the sum-of-squares bound)

有限群 $N$ 的互不等价不可约表示只有有限个，并且

$$\sum _{\mu =1}^N(n_{\mu }{)}^2\le |G|,\text{\hspace{1em}(5.31)}$$

其中 $n_{\mu }=\dim V_{\mu }$ 是不等价表示的次数。

证明

设 $T_1:G\to GL(V_1),T_2:G\to GL(V_2),..$ 为 $G$ 的不等价不可约表示。若每个向量空间 $V_{\mu }$ 上的基均选为关于每个 $\mu =1,2,\dots$ 的内积正交归一，则式 (5.29) 与式 (5.30) 可以

概括为单个方程

$$\left(T_{(\mu )ij},T_{(\nu )ab}\right)=\frac{1}{n_{\mu }}{\delta }_{\mu \nu }{\delta }^{ia}{\delta }_{jb}.$$

因此，对于每个 $\mu$，$T_{(\mu )ij}$ 由 $\mathcal{F}(G)$ 中的 $(n_{\mu }{)}^2$ 个相互正交的函数组成，且这些函数与所有 $T_{(\nu )ab}$ 正交，其中 $\nu \ne \mu$。因此，这样的 $\mathcal{F}(G)=|G|$ 不可能多于 $\dim$ 个，从而得到所需的不等式 Eq. (5.31)。显然，这样的表示至多有有限个 $N$。

事实上可以证明，不等式式 (5.31) 可替换为等式，这是有限群不可约表示计数中一个非常有用的恒等式。证明的细节以及进一步的正交关系与群表示论在物理学中的应用可在 [4, 5] 中找到。

习题

习题 5.13

对于函数 $\varphi :G\to \mathbb{C},$ ，若令 $g\phi$ 为函数 $(g\varphi )(a)=\varphi (g^{-1}a)$ ，证明 $(g{g}^{\prime })\varphi =g(g^{\prime }\varphi )$ 。证明内积式 (5.28) 是 $G$-不变的，即对所有 $(g\varphi ,g\psi )=(\varphi ,\psi )$ 有 $g\in G$

习题 5.14

设群 $G$ 在向量空间 $V$ 上的表示 $T$ 的特征标 特征标(character) 为由下式定义的函数 $\chi :G\to \mathbb{C}$

$$\chi (g)=\mathrm{tr}T(g)=T_i^i(g).$$

(a) 证明特征标与基的选取无关，且是 $\mathcal{F}(G)$ 的成员，并证明等价表示的特征标相同。证明 $\chi (e)=\dim V$

(b) 定义在 $G$ 上且在共轭类上为常值的任何复值函数（见 2.4 节）称为 中心函数(central function)。证明特征标是中心函数。

(c) 证明：关于内积式 (5.28)，任意一对不等价不可约表示 $T_1\nsim T_2$ 的特征标彼此正交，$({\chi }_1,{\chi }_2)=0$，而任意不可约表示 $T$ 的特征标具有单位范数 $(\chi ,\chi )=1$

(d) 由定理 5.8 和定理 5.7，每个酉表示 $T$ 都可以分解为不等价不可约酉表示 $T_{\mu }:G\to GL(V_{\mu })$ 的直和，

$$T\sim m_1{T}_1\oplus m_2{T}_2\oplus \cdots \oplus m_N{T}_N(m_{\mu }\ge 0).$$

证明表示 $T_{\mu }$ 的重数 $m_{\mu }$ 由下式给出

$$m_{\mu }=(\chi ,{\chi }_{\mu })=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}\overline{\chi (g)}{\chi }_{\mu }(g)$$

而 $T$ 不可约当且仅当其特征标具有单位量值，$(\chi ,\chi )=1$ 。证明 $T$ 与 $T^{\prime }$ 在其分解中没有共同的不可约表示，当且仅当它们的特征标正交。