量值 (magnitude)

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已登记出处中的最早位置：§5.1 · zh-CN。

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来源短摘录与定位

§5.1 · zh-CN · translation · unreviewed

例 5.1

普通三维向量 $a$、$b$ 等的空间是一个欧氏向量空间，通常记作 ${\mathbb{E}}^3$，其相对于通常的标量积。

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$$

其中 $|\mathbf{a}|$ 是向量 $a$ 的长度或量值，$\theta$ 是 $a$ 与 $b$ 之间的夹角。条件 (RIP1) 和 (RIP2) 易于验证，而 (RIP3’) 则可由

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}={\mathbf{a}}^2=(a_1{)}^2+(a_2{)}^2+(a_3{)}^2>0\text{ if }\mathbf{a}\ne 0.$$

这推广为 ${\mathbb{R}}^n$ 上的一个正定内积，

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i,$$

所得的欧氏向量空间记为 ${\mathbb{E}}^n$。

向量 $w$ 的 量值(magnitude) 定义为 $w\cdot w$。注意，在伪欧氏空间中，非零向量的量值可能为负或为零，但在欧氏空间中它始终是一个正量。欧氏空间中向量的 长度(length) 定义为量值的平方根。

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