5.1 实内积空间

English

设 $V$ 是一个实有限维向量空间，且 $dim$ $V = n$ 。向量空间 $V$ 上的一个实内积(real inner product)，当不会引起混淆时通常简称为内积，是一个映射 $V \times V \to R$ ，它对每一对向量 $u$ 、 $v \in V$ 都指定一个实数 $u \cdot v \in R$ ，并满足以下三个条件：

(RIP1) 该映射对两个自变量均对称， $u \cdot v = v \cdot u .$

（RIP2）分配律成立， $u \cdot (a v + b w) = a u \cdot v + b u \cdot w .$

（RIP3）若对所有 $v \in V$ 均有 $u \cdot v = 0$ ，则 $u = 0.$

一个定义了内积的实向量空间 $V$ 称为实内积空间(real inner product space)。内积对第一个变量也是分配的，因为根据条件 (RIP1) 和 (RIP2)，

(a u + b v) \cdot w = w \cdot (a u + b v) = a w \cdot u + b w \cdot v = a u \cdot w + b v \cdot w .

我们常通过称内积是双线性(bilinear)来指代其在两个自变量中的线性。

由性质 (RIP3) 可知，该内积称为非退化内积(non-singular inner product)，并常被称为伪欧氏内积(pseudo-Euclidean inner product)。有时 (RIP3) 会被更强的条件所取代

(RIP3’) $u \cdot u > 0$ 对所有向量 $u \neq = 0.$

此时称该内积为正定(positive definite)或欧氏内积，而定义了这种内积的向量空间 $V$ 称为欧氏向量空间(Euclidean vector space)。条件(RIP3’)蕴含条件(RIP3)，因为若存在非零向量 $u$ 使得对所有 $v \in V$ 都有 $u \cdot v = 0$ ，则 $u \cdot u = 0$ （取 $v = u)$ ，这违反(RIP3’)）。因此正定性是比非奇异性更强的要求。

例 5.1

普通三维向量 $a$ 、 $b$ 等的空间是一个欧氏向量空间，通常记作 $E^{3}$ ，其相对于通常的标量积。
$a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$
其中 $∣ a ∣$ 是向量 $a$ 的长度或量值， $θ$ 是 $a$ 与 $b$ 之间的夹角。条件 (RIP1) 和 (RIP2) 易于验证，而 (RIP3’) 则可由
$a \cdot a = a^{2} = (a_{1})^{2} + (a_{2})^{2} + (a_{3})^{2} > 0 if a \neq = 0 .$
这推广为 $R^{n}$ 上的一个正定内积，
$a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} = i = 1 \sum n a_{i} b_{i},$
所得的欧氏向量空间记为 $E^{n}$ 。

向量 $w$ 的量值(magnitude) 定义为 $w \cdot w$ 。注意，在伪欧氏空间中，非零向量的量值可能为负或为零，但在欧氏空间中它始终是一个正量。欧氏空间中向量的长度(length) 定义为量值的平方根。

两个向量 $u$ 与 $v$ 称为正交(orthogonal)，如果 $u \cdot v = 0$ 。由要求 (RIP3)，不存在非零向量 $u$ 与 $V$ 中的每个向量都正交。伪欧氏内积可能允许自正交或零模向量(null vector) $u \neq = 0$ 具有零量值 $u \cdot u = 0$ 的情形存在，但在欧氏向量空间中这一可能性显然被排除。

在第 9 章中我们将看到，爱因斯坦的狭义相对论为时空设定了一种称为闵可夫斯基空间的伪欧氏结构，其中零模向量起着重要作用。

实内积的分量

给定内积空间 $V$ 的一个基 ${e_{1}, ..., e_{n}}$ ，令

g_{ij} = e_{i} \cdot e_{j} = g_{j i}, (5.1)

称为内积关于基 ${e_{i}}$ 的分量。内积完全由对称矩阵的分量所确定，因为若 $u =$ $u^{i} e_{i}, v = v^{j} e_{j}$ 是任意一对向量，则利用 (RIP1) 和 (RIP2)，我们有

u \cdot v = g_{ij} u^{i} v^{j} . (5.2)

若我们将内积的分量写成一个对称矩阵

G = [g_{ij}] = [e_{i} \cdot e_{j}] = [e_{j} \cdot e_{i}] = [g_{j i}] = G^{T},

并将向量 $u$ 和 $v$ 的分量按列形式表示为 $u = [u^{i}], v = [v^{j}]$ ，则内积可写成矩阵记法，

u \cdot v = u^{T} Gv .

定理 5.1 · 内积非退化性与格拉姆矩阵 (Nondegeneracy and the Gram matrix)

矩阵 $G$ 非奇异，当且仅当条件(RIP3)成立

证明

为证明“若”部分，假设 $G$ 是奇异的， $det [g_{ij}] = 0$ 。则线性方程组存在一个非平凡解 $u^{j}$

g_{ij} u^{j} \equiv j = 1 \sum n g_{ij} u^{j} = 0.

向量 $u = u^{j} e_{j}$ 非零且与所有 $v = v^{i} e_{i}$ 正交

u \cdot v = g (u, v) = g_{ij} u^{i} v^{j} = 0,

与 (RIP3) 矛盾。

反之，假设矩阵 $G$ 非奇异，且存在一个向量 $u$ 违反 (RIP3)；对所有 $v \in V$ 有 $u \neq = 0$ 和 $u \cdot v = 0$ 。那么，由式 (5.2)，我们有

u_{j} v^{j} = 0 where u_{j} = g_{ij} u^{i} = g_{j i} u^{i}

对于 $v^{j}$ 的任意值。因此 $u_{j} = 0 (j = 1, \dots, n)$ 。然而，这意味着线性方程组 $g_{j i} u^{i} = 0$ 有非平凡解，这与非奇异性假设矛盾， $det$ $[g_{ij}] \neq = 0$

正交基

在基变换下

e_{i} = A_{i}^{j} e_{j}^{'}, e_{j}^{'} = A_{j}^{' k} e_{k}, (5.3)

分量 $g_{ij}$ 按以下方式变换

g_{ij} = e_{i} \cdot e_{j} = (A_{i}^{k} e_{k}^{'}) \cdot (A_{j}^{l} e_{l}^{'}) = A_{i}^{k} g_{k l}^{'} A_{j}^{l}, (5.4)

其中 $g_{k l}^{'} = e_{k}^{'} \cdot e_{l}^{'}$ 。用矩阵记号表示，此方程可写为

G = A^{T} G^{'} A . (5.5)

利用 $A^{'} = [A^{'}_{k}^{j}] = A^{- 1}$ ，变换后的矩阵 $G^{'}$ 可写为

G^{'} = (A^{'})^{T} GA^{'} . (5.6)

一个标准正交基(orthonormal basis) ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ ，为简洁起见写作“标准正交基”，由所有量值为 $\pm 1$ 且两两正交的向量组成，

g_{ij} = e_{i} \cdot e_{j} = η_{i} δ_{ij} where η_{i} = \pm 1, (5.7)

其中求和约定暂时失效。当关系涉及某一特定基类时，我们偶尔会这样做。

定理 5.2 · 正交标准基的存在性 (Existence of an orthonormal basis)

在任意有限维实内积空间 $(V, \cdot)$ 中，若 $dim$ $V = n$ ，则存在满足式 (5.7) 的标准正交基 ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ 。

证明

该方法通过一个称为格拉姆–施密特正交归一化(Gram–Schmidt orthonormalization)的过程实现，这是一种从任意基 ${u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}}$ 出发构造正交归一基的算法过程。对于欧氏内积，该过程相对直接，但在一般伪欧氏空间中，向量可能具有零量值，这带来了额外的复杂性。

首先选取一个向量 $u$ ，使得 $u \cdot u \neq = 0$ 。这总是可能的，因为若对所有 $u \in V$ 都有 $u \cdot u = 0$ ，则对任意一对向量 $u$ 、 $v$

0 = (u + v) \cdot (u + v) = u \cdot u + 2 u \cdot v + v \cdot v = 2 u \cdot v,

这与非奇异性条件（RIP3）矛盾。对于格拉姆–施密特过程的第一步，我们对该向量进行归一化，

e_{1} = \frac{u}{∣ u \cdot u ) ∣} and η_{1} = e_{1} \cdot e_{1} = \pm 1.

在欧氏情形中，任何非零向量 $u$ 都可用于这第一步，并且 $e_{1} \cdot e_{1} = 1$

设 $V_{1}$ 为 $V$ 中由与 $e_{1}$ 正交的向量组成的子空间，

V_{1} = {w \in V ∣ w \cdot e_{1} = 0} .

这是一个向量子空间，因为若 $w$ 与 $w^{'}$ 均正交于 $e_{1}$ ，则形如 $w + a w^{'}$ 的任意线性组合也如此，

(w + a w^{'}) \cdot e_{1} = w \cdot e_{1} + a w^{'} \cdot e_{1} = 0.

对任意 $v \in V$ ，向量 $v^{'} = v - a e_{1} \in V_{1}$ ，其中 $a = η_{1} (v \cdot e_{1})$ ，因为 $v^{'} \cdot e_{1} = v \cdot e_{1} -$ $(η_{1})^{2} v \cdot e_{1} = 0$ 。此外，将 $v = a e_{1} + v^{'}$ 分解为平行于 $e_{1}$ 的分量与正交于 $e_{1}$ 的向量是唯一的，因为若 $v = a^{'} e_{1} + v^{''}$ ，其中 $v^{''} \in V_{1}$ ，则

(a^{'} - a) e_{1} = v^{''} - v^{'} .

将两边与 $e_{1}$ 取内积，首先得到 $a^{'} = a$ ，从而得到 $v^{''} = v^{'}$

内积限制在 $V_{1}$ 上，作为映射 $V_{1} \times V_{1} \to R .$ ，是向量子空间 $V_{1}$ 上的一个内积。若将向量 $u,$ $v$ 和 $w$ 限制为属于 $V_{1}$ 的向量，则条件 (RIP1) 与 (RIP2) 显然满足。为证明 (RIP3)，即该内积非奇异，设 $v^{'} \in V_{1}$ 为一个向量，使得对所有 $w^{'} \in V_{1}$ 都有 $v^{'} \cdot w^{'} = 0$ 。于是 $v^{'}$ 正交于 $w \in V$ 中的每一个向量，因为由分解

w = η_{1} (w \cdot e_{1}) e_{1} + w^{'},

我们有 $v^{'} \cdot w = 0$ 。由 $V$ 上内积的条件 (RIP3)，这蕴含 $v^{'} = 0$ ，如所要求。

重复上述论证，存在一个向量 $u^{'} \in V_{1}$ ，使得 $u^{'} \cdot u^{'} \neq = 0$ 。集合

e_{2} = \frac{u ^{'}}{∣ u ^{'} \cdot u ^{'} ∣}

且 $η_{2} = e_{2} \cdot e_{2} = \pm 1$ 。显然 $e_{2} \cdot e_{1} = 0$ ，因为 $e_{2} \in V_{1}$ 。定义与 $e_{1}$ 和 $e_{2}$ 正交的向量子空间 $V_{2}$ ，上述论证可再次用于证明内积在 $V_{2}$ 上的限制满足 (RIP1)–(RIP3)。继续此过程，直到产生 $n$ 个标准正交向量 ${e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}}$ 。这些向量必定线性无关，因为若存在消失的线性组合 $a^{i} e_{i} = 0$ ，则将该方程与任意 $e_{j}$ 作内积得到 $a^{j} = 0$ 。由定理 3.3 ，这些向量构成 $V$ 的一个基。在正交标准化过程的这一阶段 $V_{n} = {0}$ ，因为不可能存在与每个 $e_{1}, \dots, e_{n}$ 都正交的向量，过程就此结束。

下述定理表明，对于固定的内积空间，除出现的顺序不同外，系数 $η_{i}$ 在所有标准正交基中都相同。

定理 5.3 · 西尔维斯特惯性定律 (Sylvester’s law of inertia)

(西尔维斯特) 在 $η_{i}$ 中， $+$ 与 $-$ 符号的数目与标准正交基的选取无关。

证明

设 ${e_{i}}$ 与 ${f_{j}}$ 为两个标准正交基，使得

e_{1} \cdot e_{1} = \dots = e_{r} \cdot e_{r} = + 1, e_{r + 1} \cdot e_{r + 1} = \dots = e_{n} \cdot e_{n} = - 1,

f_{1} \cdot f_{1} = \dots = f_{s} \cdot f_{s} = + 1, f_{s + 1} \cdot f_{s + 1} = \dots = f_{n} \cdot f_{n} = - 1.

若 $s > r$ ，则向量 $f_{1}, \dots, f_{s}$ 与 $e_{r + 1}, \dots, e_{n}$ 构成一组 $s + n - r > n = dim V$ 个向量，且它们之间必存在一个非平凡线性关系，

a^{1} f_{1} + \dots + a^{s} f_{s} + b^{1} e_{r + 1} + \dots + b^{n - r} e_{n} = 0.

由于 $a^{i}$ 不可能全部为零，因为 $e_{i}$ 构成线性无关集。类似地，并非所有 $b^{j}$ 都会为零。令

u = a^{1} f_{1} + \dots + a^{s} f_{s} = - b^{1} e_{r + 1} - \dots - b^{n - r} e_{n} \neq = 0

我们得到了矛盾

u \cdot u = i = 1 \sum s (a^{i})^{2} > 0 and u \cdot u = - j = 1 \sum n - r (b^{j})^{2} < 0.

因此， $r = s$ 与这两个基必须具有完全相同数量的 $+$ 和 $-$ 符号。

若 $r$ 是 $+$ 符号的数目，而 $s$ 是 $-$ 符号的数目，则它们的差 $r - s$ 称为内积的指数(index of an inner product)。西尔维斯特定理表明，它是内积空间的不变量，与标准正交基的选取无关。对于欧氏内积， $r - s = n$ ，尽管“欧氏”一词也适用于负定情形， $r - s = - n$ 。若 $r - s = \pm (n - 2)$ ，则称该内积为闵可夫斯基内积(Minkowskian inner product)。

例 5.2

在欧氏空间中，格拉姆–施密特过程按如下方式进行：
$f_{1} = u_{1} f_{2} = u_{2} - (e_{1} \cdot u_{2}) e_{1} f_{3} = u_{3} - (e_{1} \cdot u_{3}) e_{1} - (e_{2} \cdot u_{3}) e_{2} e_{1} = \frac{f _{1}}{f _{1} \cdot f _{1}} e_{2} = \frac{f _{2}}{f _{2} \cdot f _{2}} e_{3} = \frac{f _{3}}{f _{3} \cdot f _{3}} η_{1} = e_{1} \cdot e_{1} = 1, η_{2} = e_{2} \cdot e_{2} = 1, η_{3} = e_{3} \cdot e_{3} = 1, etc.$
由于每个向量都具有正量值，所有分母 $f_{i} \cdot f_{i} > 0,$ ，且每一步都有定义。每个向量 $e_{i}$ 都是单位向量，并且与之前的每个 $e_{j} (j < i)$ 正交

例 5.3

考虑三维空间上的一个内积，其在基 $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ 下的分量
$G = [g_{ij}] = [u_{i} \cdot u_{j}] = 011101110 .$
例 5.2 中给出的过程显然失效，因为每个基向量都是零模向量 $u_{1} \cdot u_{1} = u_{2} \cdot u_{2} = u_{3} \cdot u_{3} = 0$ ，无法归一化为单位向量。

首先，我们找到一个向量 $u$ ，使得 $u \cdot u \neq = 0$ 。任何形如 $u = u_{1} + a u_{2}$ 且满足 $a \neq = 0$ 的向量均可，因为
$u \cdot u = u_{1} \cdot u_{1} + 2 a u_{1} \cdot u_{2} + u_{2} \cdot u_{2} = 2 a .$
令 $a = 1$ 为 $u = u_{1} + u_{2}$ 和 $u \cdot u = 2$ 。正交归一化过程的第一步便是
$e_{1} = \frac{1}{2} (u_{1} + u_{2}), η_{1} = e_{1} \cdot e_{1} = 1.$
当然，这其中存在一个显著的人为任意性因素，因为 $u$ 的选择绝非唯一；例如，选择 $a = \frac{1}{2}$ 会得到 $e_{1} = u_{1} + \frac{1}{2} u_{2}$

与 $e_{1}$ 正交的向量子空间 $V_{1}$ 由形如 $v = a u_{1} +$ $b u_{2} + c u_{3}$ 的向量组成，使得
$v \cdot e_{1} \propto v \cdot u = (a u_{1} + b u_{2} + c u_{3}) \cdot (u_{1} + u_{2}) = a + b + 2 c = 0.$
例如，令 $c = 0$ 和 $a = - b = 1$ ，得到 $v = u_{1} - u_{2}$ 。 $v$ 的量值为 $v \cdot v = - 2$ ，归一化后得到
$e_{2} = \frac{1}{2} (u_{1} - u_{2}), η_{2} = e_{2} \cdot e_{2} = - 1, e_{2} \cdot e_{1} = 0.$
最后，我们需要一个向量 $w = a u_{1} + b u_{2} + c u_{3}$ ，它与 $e_{1}$ 和 $e_{2}$ 都正交。这两个要求意味着 $a = b = - c$ ，而令 $c = 1$ 得到 $w = u_{1} + u_{2} - u_{3}$ 。对 $w$ 进行归一化得到
$w \cdot w = (u_{1} + u_{2} - u_{3}) \cdot (u_{1} + u_{2} - u_{3}) = - 2 ⟹ e_{3} = \frac{1}{2} (u_{1} + u_{2} - u_{3}), η_{3} = e_{3} \cdot e_{3} = - 1.$
内积在此标准正交基下的分量因此为
$G^{'} = [g_{ij}^{'}] = [e_{i} \cdot e_{j}] = 100 0 - 1 0 00 - 1 .$
内积的指标是 $1 - 2 = - 1$

任意一对标准正交基 ${e_{i}}$ 与 ${e_{i}^{'}}$ 之间通过一个基变换相联系

e_{i} = L_{i}^{j} e_{j}^{'},

使得

g_{ij} = e_{i} \cdot e_{j} = e_{i}^{'} \cdot e_{j}^{'} = g_{ij}^{'} = diag (η_{1}, \dots, η_{n}) .

由 $Eq.$ 。由式 (5.4) 可得

g_{ij} = g_{k l} L_{i}^{k} L_{j}^{l}, (5.8)

或其矩阵等价形式

G = L^{T} GL . (5.9)

对于欧氏度量 $G = I .$ ， $L$ 是正交变换；而对于具有 $n = 4$ 的闵可夫斯基度量，相应的变换是第 2.7 节中讨论的洛伦兹变换。如第 2 章所示，这些变换分别构成群 $O (n)$ 和 $O$ (3, 1)。一般的伪正交内积导致一个 $O (p, q)$ 型伪正交变换群 $(p, q)$ 。

习题

习题 5.1

设 $(V, \cdot)$ 为实欧氏内积空间，并记向量 $x \in V$ , $∣ x ∣ = x \cdot x$ 的长度。证明：若 $∣ u + v ∣^{2} = ∣ u ∣^{2} + ∣ v ∣^{2}$ ，则两个向量 $u$ 与 $v$ 正交。

习题 5.2

设
$G = [g_{ij}] = [u_{i} \cdot u_{j}] = 010 10 - 1 0 - 1 1$
设 $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ 为某个实内积关于一个基的分量。利用格拉姆–施密特正交化求出一个标准正交基 $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ ，用向量 $u_{i}$ 表示，并求出该内积的指标。

习题 5.3

设 $G$ 为某个实内积在基 $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ 下分量的对称矩阵，
$G = [g_{ij}] = [u_{i} \cdot u_{j}] = 101 0 - 2 1 110 .$
利用格拉姆–施密特正交化，求一个用向量 $u_{i}$ 表示的标准正交基 $e_{1}, e_{2}, e_{3}$

习题 5.4

定义“对称算符(symmetric operator) $S : V \to V$ ”这一概念为满足以下条件的算符：
$(S u) \cdot v = u \cdot (S v) for all u, v \in V .$
证明这导致该分量方程
$S_{i}^{k} g_{k j} = g_{ik} S_{j}^{k},$
等价于矩阵方程
$S^{T} G = GS .$
证明：在欧氏空间中，对于标准正交基，这导致通常的对称性概念，但在伪欧氏空间中则不成立。

习题 5.5

设 $V$ 为维数 $n$ 、指标 $n - 2$ 的闵可夫斯基向量空间，并设 $k \neq = 0$ 为 $V$ 中的零模向量 $(k \cdot k = 0)$ 。

(a) 证明存在一个标准正交基 $e_{1}, \dots, e_{n}$ ，使得
$k = e_{1} - e_{n} .$
(b) 证明：若 $u$ 是一个“类时”向量，即量值 $u \cdot u < 0$ 为负的向量，则 $u$ 不与 $k$ 正交。

(c) 证明：若 $v$ 是零模向量，使得 $v \cdot k = 0$ ，则 $v \propto k .$

(d) 若 $\cdot n \geq 4$ ，则这些陈述中哪些可推广到指标空间 $n - 42$

Szekeres · 数学物理

章节

5.1 实内积空间

实内积的分量

正交基

习题

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