第一同构定理 (First isomorphism theorem)

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§2.5 · zh-CN · translation · unreviewed

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§2.5 · en · original_transcription · unreviewed

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本节的定理 2.5 给出两件事：正规子群 $N$ 可作为到商群 $G / N$ 的同态像的来源；任一群同态 $φ : G \to G^{'}$ 的商群 $G / ker (φ)$ 与其像同构：

im (φ) ≅ G / ker (φ) .

证明先说明 $φ$ 在每个核陪集上取值相同，因此可由陪集定义映射 $ψ (g K) = φ (g)$ ；再验证它是同态、一对一且满射到像。 Szekeres · §2.5

Szekeres · 作者条件与约定

在 Szekeres 第 2.5 节，定理把正规子群与商群构造联系起来，并把一般同态的商群与其像联系起来。证明使用核 $K = ker (φ)$ ，从陪集 $g K$ 上的恒定取值构造诱导映射。

条件：第一部分假设 $N$ 是群 $G$ 的正规子群；第二部分假设 $φ : G \to G^{'}$ 是群同态，结论是 $G / ker (φ)$ 与 $im (φ)$ 同构。

记号： $G$ 、 $G^{'}$ 为群； $N$ 为正规子群； $ker (φ)$ 为核； $im (φ)$ 为像。

来源覆盖、定位与记录

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