2.4 同态与同构

同态

两个群$G$和$G^{\prime }$,映射$\phi :G\to G^{\prime }$保持群乘法，

$$\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$$

则称这个映射是同态(homomorphism)

定理 2.1

在同态映射下$G$的单位元映射到$G^{\prime }$的单位元，任意元素之逆映为像元素之逆

证明

对于任意$g\in G$，

$$\phi (g)=\phi (ge)=\phi (g)\phi (e).$$

将上式两边同时乘以$(\phi (g){)}^{-1}$可得到所需的结果。

$$e^{\prime }=e^{\prime }\phi (e)=\phi (e)$$

如果$g\in G$，则$\phi (g^{-1})\phi (g)=\phi (g^{-1}g)=\phi (e)=e^{\prime }$。因此$\phi (g^{-1})=(\phi (g){)}^{-1}$，满足要求。

随文练习

若 $\phi :G\to G^{\prime }$ 是一个同态，证明像集

$$\mathrm{im}(\phi )=\phi (G)=\{g^{\prime }\in G^{\prime }\mid g^{\prime }=\phi (g),g\in G\}\text{\hspace{1em}(2.13)}$$

是 $G^{\prime }$ 的子群。

例 2.16

对任意实数$x\in \mathbb{R}$整数部分记成$[x]$，小数部分写成$(x)=x-[x]$，显然$0⩽(x)<1$

在$[0,1)$区间上定义模$1$加法

$$a+b\mathrm{mod}1=(a+b)$$

这个群是阿贝尔的，称为实数模$1$群，$a>0$ 的逆元是 $1-a$，$0$的逆元是$0$，

映射${\phi }_1:\mathbb{R}\to [0,1)$,${\phi }_1(x)=(x)$保模$1$加法，即$((x)+(y))=(x+y)$

随文练习

证明圆映射或相位映射 $C:\dot{\mathbb{C}}\to [0,2\pi )$，定义为

$$C(z)=\theta ,z=|z|e^{i\theta },0\le \theta <2\pi ,$$

是从非零复数乘法群到模 $2\pi$ 实数加法群的同态。后一个群可仿照例 2.16 中模 $1$ 实数群的定义构造。

例 2.17

令$\mathrm{sign}:S_n\to \{+1,-1\}$是分配给每个排列宇称的映射

$$\mathrm{sign}(\pi )=(-1{)}^{\pi }=\{\begin{array}{ll}+1,& \text{若}\pi \text{为偶}\\ -1,& \text{若}\pi \text{为奇}\end{array}$$

由式(2.1)，$\mathrm{sign}$是从$S_n$到实数乘法群的同态

$$\mathrm{sign}(\pi \sigma )=\mathrm{sign}(\pi )\mathrm{sign}(\sigma )$$

随文练习

由式 (2.5) 证明，从 $n$ 阶一般线性群到非零实数乘法群的行列式映射 $\det :GL(n,\mathbb{R})\to \dot{\mathbb{R}}$ 是同态。

同构

同构(isomorphism)是一一到上的同态映射，$G$和$G^{\prime }$若存在同构映射，则称这两个群同构，记作$G\cong G^{\prime }$，这两个群在群性质上基本相同。

随文练习

若 $\phi :G\to G^{\prime }$ 是同构，证明逆映射 ${\phi }^{-1}:G^{\prime }\to G$ 也是同构。

随文练习

若 $\phi :G\to G^{\prime }$ 和 $\psi :G^{\prime }\to G^{\prime \prime }$ 都是同构，证明复合映射 $\psi \circ \phi :G\to G^{\prime \prime }$ 也是同构。

这两道练习说明同构关系具有对称性和传递性；恒等映射又给出反身性，因此同构是群的类上的等价关系。这里必须使用“类”，因为“所有群的集合”太大，不能作为集合。于是可以讨论同构群的等价类，以后提到一个群时，往往指其等价类。

群论是对同构群等价类的研究，通常，挑出一个等价的特殊代表是好事

定理 2.2 · Cayley

任意$n$阶有限群都同构于排列群

证明

对于每一个$g\in G$，定义映射$L_g:G\to G$为左乘以g，

$$L_g(x)=gx\mathrm{where}x\in G.$$

由于

$$gx=g{x}^{\prime }⟹x=x^{\prime }\mathrm{and}x=L_g(g^{-1}x)\mathrm{for}\mathrm{all}x\in G.$$

因此，这个映射是一一对应和可逆的。$L_g$ 因此排列 $G=\{g_1=e,g_2,\dots ,g_n\}$ 的元素，并且可以被认为是$S_n$中的一个成员。它有属性 $L_g\circ L_h=L_{gh}$，因为

$$L_g\circ L_h(x)=g(hx)=(gh)x=L_{gh}(x),\forall x\in G.$$

因此，由 $\phi (g)=L_g$ 定义的映射 $\phi :G\to S_n$ 是一个同态，

$$\phi (g)\phi (h)=L_g\circ L_h=L_{gh}=\phi (gh).$$

此外，$\phi$ 是一一对应的，因为如果 $\phi (g)=\phi (h)$ 那么 $g=L_g(e)=L_h(e)=h$ 。因此，$G$ 与 $\phi (G)\subseteq S_n$ 的子群是同构的。

抽象上看两个群可能并没有什么不同，但同一群的不同“具体”版本可能有不同的应用，研究线性变换群或矩阵群的“具体”的理论称为群表示论。

自同构和共轭类

自同构(automorphism)指同构于自身的映射$\phi :G\to G$

最平凡的例子:${\mathrm{id}}_G:G\to G$（单位元）

自同构的复合还是自同构，逆亦然（封闭性）（逆元）

于是一个群的全体自同构映射也是一个群，记作$\mathrm{Aut}(G)$

对于任意的$g\in G$，映射$C_g:G\to G$定义成

$$C_g(a)=ga{g}^{-1}\text{\hspace{1em}(2.14)}$$

成为由$g$导出的共轭(conjugation)，这个映射是同态的，因为

$$C_g(ab)=gab{g}^{-1}=ga{g}^{-1}gb{g}^{-1}=C_g(a)C_g(b)$$

$C_{g^{-1}}$是其逆，故$C_g$是$G$中的一个自同构，由$G$中的某些元素$g$导出的同构称为内自同构(inner automorphism)

$C_{gh}=C_g\circ C_h$仍然成立，因为对任意$a\in G$

$$C_{gh}(a)=gha(gh{)}^{-1}=gha{h}^{-1}{g}^{-1}=C_g\left(C_h(a)\right)$$

所以映射 $\psi :G\to \mathrm{Aut}(G)$，定义成$\psi (g)=C_g$，也是同态的，这些内自同构，也就是 $\psi$ 下 $G$ 的像,组成一个 $\mathrm{Aut}(G)$的子群，两个子群$H$和$H^{\prime }$通过 $G$的内自同构互相变换

$$H^{\prime }=gH{g}^{-1}=\left\{gh{g}^{-1}\mid h\in H\right\}$$

随文练习

证明共轭关系是群 $G$ 的所有子群所成集合上的等价关系。包含平凡子群 $\{e\}$ 的等价类是什么？

共轭也在 $G$ 上诱导出一个等价关系：$a\equiv b$当且仅当存在$g\in G$ 使 $b=C_g(a)$，（反身、对称和传递性都保持）遵循这种等价关系的等价类称为共轭类(conjugacy class)

元素$a$的共轭类记作 $C_a$，包含恒等元的共轭类总是单子集$\{e\}$，

随文练习

阿贝尔群的共轭类什么？（单子集（译者注））

例 2.18

对于矩阵群，矩阵$A$和$B$如果依靠一个相似变换

$$B=SA{S}^{-1}$$

彼此联系，那么他们就在同一个共轭类中，两个相似的矩阵拥有相同的行列式，迹，和本征值

$$\det \mathbf{B}=\det \mathbf{S}\det \mathbf{A}(\det \mathbf{S}{)}^{-1}=\det \mathbf{A}$$

• 由于

$$\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)\text{\hspace{1em}(2.15)}$$

所以

$$\mathrm{tr}B=\mathrm{tr}\left(SA{S}^{-1}\right)=\mathrm{tr}\left(S^{-1}SA\right)=\mathrm{tr}(IA)=\mathrm{tr}A$$

$$A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}⟹B(S\mathbf{v})=SA{S}^{-1}S\mathbf{v}=SA\mathbf{v}=\lambda S\mathbf{v}$$

例 2.19

易证，排列群$S_3$的共轭类是（用循环符号）

• $\{e\}$

• $\{(12),(13),(23)\}$

• $\{(123),(132)\}$

共轭类由具有相同循环结构的排列组成，是排列群的一个一般特征。

习题

习题 2.9

证明定理 2.2 也可推广到无限群：任何群 $G$ 都同构于集合 $G$ 的变换群 $\mathrm{Transf}(G)$ 的一个子群。

习题 2.10

求四个符号 $e,a,b,c$ 上所有可能的群乘法表，并证明每个 $4$ 阶群都同构于循环群 ${\mathbb{Z}}_4$ 或直积群 ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_2$。

习题 2.11

证明对任意置换 $\pi$，循环置换 $(a_1{a}_2\dots a_n)$ 都满足：

$$\pi (a_1{a}_2\dots a_n){\pi }^{-1}$$

仍是一个长度为 $n$ 的循环。[提示：只需对换位 $\pi =(b_1{b}_2)$ 证明，因为每个置换都是换位的乘积。]

(a) 证明 $S_n$ 的共轭类由循环结构相同的置换组成。例如 $(123)(45)$ 和 $(146)(23)$ 属于同一个共轭类。

(b) 写出 $S_4$ 的所有共轭类，并计算每一类的元素个数。

习题 2.12

证明以群为对象、群同态为态射，构成一个范畴，即群范畴(category of groups)（见第1.7节）。这个范畴中的单态射、满态射和同构分别是什么？