有序对 (ordered pair)

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以下按已登记位置排列。出现顺序、原文引用与已登记依赖分别展示；最早位置不代表全书首次定义。

Szekeres · source-snapshot-bc3404156f6e

已登记出处中的最早位置：§1.3 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§1.3	zh-CN · 英文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§1.3 · zh-CN · translation · unreviewed

集合没有元素的次序：$\{a,b\}=\{b,a\}$。有序对(ordered pair) $(a,b)$ 则要保留第一、第二个元素的信息。一种纯集合论编码是

Woit · 2025-10-20

已登记出处中的最早位置：§1.3 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§1.3	zh-CN · 英文上下文	术语出现；位于定义入口环境中

来源短摘录与定位

§1.3 · zh-CN · translation · unreviewed

定义 · 群在集合上的作用(group action on a set)

定义（群在集合上的作用）。群 $G$ 在集合 $M$ 上的作用由一个映射给出

$$(g,x)\in G\times M\to g\cdot x\in M$$

将一个有序对(ordered pair) $(g,x)$（其中 $g\in G$ 是群元素，$x\in M$ 是集合元素）映为另一个元素 $g\cdot x\in M$，使得

$$g_1\cdot (g_2\cdot x)=(g_1{g}_2)\cdot x\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

和

$$e\cdot x=x$$

其中 $e$ 是 $G$ 的恒等元

编辑导读与作者比较

既有 Luna 编排；独立机器审阅，尚未人工复核。冻结输入与审阅记录保留于原档案。

Szekeres 指出无序集合 $\{a,b\}=\{b,a\}$ 不记录元素次序，并说明有序对 $(a,b)$ 通过指定首项来表达顺序。该节开头的编校说明指出，供给 PDF 印为 $\{\{a,b\},a\}$，而本节式 (1.1) 是编辑采用的标准 Kuratowski 校正形式：

$$(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}.\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

作者将这种集合论说明限定为展示“次序”可以如此表达的例子；校正公式不归作 PDF 作者原式。 Szekeres · §1.3

Woit 在群作用的定义中把输入写为 $(g,x)\in G\times M$，并将其描述为一个群元素与一个集合元素组成的有序对；这处是使用示例，不是有序对的一般定义。 Woit · §1.3

Szekeres · 作者条件与约定

Szekeres 先指出无序集合 $\{a,b\}=\{b,a\}$ 不保存顺序，再说明有序对通过指定首项来保留顺序信息。作者称纯集合论表述用于说明“次序”可以如此表达，并说后续无需反复展开该表示。节首编校说明另指出，式 (1.1) 采用标准 Kuratowski 校正，供给 PDF 印式不同；该校正不归于作者原文。

条件：作者文字讨论二元有序对和指定首项的作用；式 (1.1) 的校正归于节首编校说明，不作为供给 PDF 中作者原式。

记号：$(a,b)$ 表示有序对。节首编校说明指出，本节所列的标准 Kuratowski 公式是校正形式，供给 PDF 印为 $\{\{a,b\},a\}$。

Szekeres · §1.3

Woit · 作者条件与约定

Woit 在群作用段落把输入写成 $(g,x)\in G\times M$，并直接解释它是由群元素 $g$ 和集合元素 $x$ 构成的一对，映到 $g\cdot x$。这是定义群作用时的记号用法。

条件：$G$ 是群，$M$ 是其作用所在的集合；该段没有给出有序对的集合论构造。

记号：$(g,x)$ 是作用映射的输入，$G\times M$ 是其定义域。

Woit · §1.3

来源覆盖、定位与记录

索引保留所有已登记出处，不受模型材料包八小节限额影响。中英上下文按已登记的书、版次与小节配对，不冒充另一语言的概念定义。没有穷尽全书未标记的术语；程序校验不提升原著或译文审阅资格。

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永久身份：urn:uuid:e5a0d3c6-87bc-459a-b42e-e7d38b8d1601。

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